42*. Равные углы ВАС и ACD отложены по разные стороны от прямой АС (см. рисунок). Докажите, что АВ = CD, если ∠ACB = ∠CAD.

Для доказательства равенства отрезков AB и CD при условии равенства углов ∠ACB и ∠CAD, а также при условии, что углы BAC и ACD равны и отложены по разные стороны от прямой AC, можно использовать признаки равенства треугольников.

1. Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
2. По условию, ∠ACB = ∠CAD.
3. Также по условию, ∠BAC = ∠ACD.
4. Сторона AC является общей для обоих треугольников.
5. Таким образом, треугольники ABC и CDA равны по углу-стороне-углу (УСУ), так как у них есть равные углы ∠ACB и ∠CAD, ∠BAC и ∠ACD и общая сторона AC между этими углами.
6. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Следовательно, сторона AB треугольника ABC равна стороне CD треугольника CDA (AB = CD).

Ответ: AB = CD, что и требовалось доказать.