Раздел 1. Теоретические вопросы. 1. Окружность называется описанной около треугольника, если 2. Центром вписанной в треугольника окружности является 3. Начертите произвольный треугольник и опишите около него окружность. 4. Решите задачу по чертежу: Доказать: AB=BC.

Решение:

• 1. Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.
• 2. Центром вписанной в треугольника окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника.
• 3. Построение окружности, описанной около произвольного треугольника:
  • 1. Постройте произвольный треугольник ABC.
  • 2. Постройте серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника (например, к AB и BC).
  • 3. Точка пересечения этих перпендикуляров (точка O) будет центром описанной окружности.
  • 4. Проведите окружность с центром O, проходящую через вершины A, B и C.
• 4. Доказательство:
  • В треугольнике ABC, угол ACB является вписанным углом, опирающимся на дугу AB.
  • Угол AOB, центральный угол, опирается на ту же дугу AB. Следовательно, ∠AOB = 2 ∠ACB.
  • Угол BAC является вписанным углом, опирающимся на дугу BC.
  • Угол BOC, центральный угол, опирается на ту же дугу BC. Следовательно, ∠BOC = 2 ∠BAC.
  • Из чертежа видно, что ∠AOB = ∠BOC.
  • Следовательно, 2 ∠ACB = 2 ∠BAC, что означает ∠ACB = ∠BAC.
  • Треугольник ABC равнобедренный, если его углы при основании равны.
  • В треугольнике, если углы при основании равны, то стороны, противолежащие этим углам, равны.
  • Следовательно, сторона AB (противолежащая углу ACB) равна стороне BC (противолежащей углу BAC).
  • Таким образом, доказано, что AB = BC.

Ответ:

• 1. Если она проходит через все его вершины.
• 2. Точка пересечения биссектрис.
• 3. (См. построение выше).
• 4. AB = BC (доказано).