Разделяя переменные в уравнении (x-y)dx+(xy+x-y-1)dy = 0, получим решение... Выберите правильный вариант:

Решение:

Данное дифференциальное уравнение имеет вид: \( (x-y)dx + (xy+x-y-1)dy = 0 \).

Перепишем уравнение:

\( (x-y)dx + (x(y+1) - (y+1))dy = 0 \)

\( (x-y)dx + (x-1)(y+1)dy = 0 \)

Разделим переменные:

\( \frac{x-y}{x-1}dx + (y+1)dy = 0 \)

Это уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными. Попробуем другую группировку:

\( (x-y)dx + (xy+x-y-1)dy = 0 \)

\( xdx - ydx + xydy + xdy -ydy - dy = 0 \)

Группируем члены:

\( (xdx + xydy + xdy) - (ydx + ydy + dy) = 0 \)

\( x(dx + ydy + dy) - (ydx + ydy + dy) = 0 \)

\( (x-y)(dx + (y+1)dy) = 0 \)

Это неверно. Вернемся к исходному уравнению и попробуем представить его в виде:

\( (x-y)dx + (x-1)(y+1)dy = 0 \) (это было ошибочно, верное выражение \( xy+x-y-1 = x(y+1)-(y+1) = (x-1)(y+1) \) )

Правильная группировка:

\( (x-y)dx + (xy+x-y-1)dy = 0 \)

\( (x-y)dx + (x-1)(y+1)dy = 0 \)

Это также не дает разделения переменных. Попробуем иначе:

\( (x-y)dx + ((x-1)y + (x-1))dy = 0 \)

\( (x-y)dx + ((x-1)y + x-1)dy = 0 \)

Это также не приводит к разделению переменных. Рассмотрим варианты ответа:

Вариант 1: \( x+y+\ln|(x-1)(y-1)|=C \)

Продифференцируем этот вариант:

\( dx + dy + \frac{1}{(x-1)(y-1)} ((y-1)dx + (x-1)dy) = 0 \)

\( dx + dy + \frac{y-1}{(x-1)(y-1)}dx + \frac{x-1}{(x-1)(y-1)}dy = 0 \)

\( dx + dy + \frac{1}{x-1}dx + \frac{1}{y-1}dy = 0 \)

\( (1 + \frac{1}{x-1})dx + (1 + \frac{1}{y-1})dy = 0 \)

\( (\frac{x-1+1}{x-1})dx + (\frac{y-1+1}{y-1})dy = 0 \)

\( \frac{x}{x-1}dx + \frac{y}{y-1}dy = 0 \)

Это не соответствует исходному уравнению.

Вариант 3: \( x-y+\ln|(x-1)(y-1)|=C \)

Продифференцируем:

\( dx - dy + \frac{1}{x-1}dx + \frac{1}{y-1}dy = 0 \)

\( (1 + \frac{1}{x-1})dx + (-1 + \frac{1}{y-1})dy = 0 \)

\( \frac{x}{x-1}dx + \frac{y-1-1}{y-1}dy = 0 \)

\( \frac{x}{x-1}dx + \frac{y-2}{y-1}dy = 0 \)

Это также не подходит.

Рассмотрим уравнение \( (x-y)dx + (xy+x-y-1)dy = 0 \) снова.

\( (x-y)dx + (x(y+1) - (y+1))dy = 0 \)

\( (x-y)dx + (x-1)(y+1)dy = 0 \)

Это НЕ уравнение с разделяющимися переменными.

Предположим, что в условии была опечатка и уравнение было:

\( (x-1)dx + (y-1)dy = 0 \) → \( xdx - dx + ydy - dy = 0 \) → \( \frac{x^2}{2} - x + \frac{y^2}{2} - y = C \)

Другой вариант:

\( (x-1)dx + (x-1)(y+1)dy = 0 \) → \( dx + (y+1)dy = 0 \) → \( x + \frac{y^2}{2} + y = C \)

Попробуем проверить вариант 4: \( -x-y+\ln|(x-1)(y-1)|=C \)

\( -dx - dy + \frac{1}{x-1}dx + \frac{1}{y-1}dy = 0 \)

\( (-1 + \frac{1}{x-1})dx + (-1 + \frac{1}{y-1})dy = 0 \)

\( (\frac{-x+1+1}{x-1})dx + (\frac{-y+1+1}{y-1})dy = 0 \)

\( \frac{2-x}{x-1}dx + \frac{2-y}{y-1}dy = 0 \)

Это также не подходит.

Проверим вариант 3 снова, возможно, была ошибка в дифференцировании:

\( x-y+\ln|(x-1)(y-1)|=C \)

\( d(x-y) + d(\ln|(x-1)(y-1)|) = 0 \)

\( (dx-dy) + \frac{d((x-1)(y-1))}{(x-1)(y-1)} = 0 \)

\( (dx-dy) + \frac{(y-1)dx + (x-1)dy}{(x-1)(y-1)} = 0 \)

Умножим на \( (x-1)(y-1) \):

\( (x-1)(y-1)(dx-dy) + (y-1)dx + (x-1)dy = 0 \)

\( (xy-x-y+1)(dx-dy) + (y-1)dx + (x-1)dy = 0 \)

\( (xy-x-y+1)dx - (xy-x-y+1)dy + (y-1)dx + (x-1)dy = 0 \)

\( (xy-x-y+1+y-1)dx + (-xy+x+y-1+x-1)dy = 0 \)

\( (xy-x)dx + (-xy+2x+y-2)dy = 0 \)

Это не похоже на исходное. Возможно, исходное уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными в явном виде, а требует преобразования.

Рассмотрим уравнение \( (x-y)dx + (xy+x-y-1)dy = 0 \)

\( (x-y)dx + (x(y+1) - (y+1))dy = 0 \)

\( (x-y)dx + (x-1)(y+1)dy = 0 \)

Если предположить, что \( x-y = A \) и \( (x-1)(y+1) = B \), то это не приводит к разделению. Ищем опечатку в исходном уравнении или вариантах ответа.

Перейдем к вопросу №11.