ражнение 16 1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид х = 5cos 3,14t (см). Чему равны амплитуда, фаза, период, частота и циклическая ча- стота колебаний? Запишите уравнения для скорости и ускорения колебаний. 2. На рисунке 74 приведён график зависимости смещения гармониче- ских колебаний от времени. Опре- делите по графику амплитуду, пе- риод, частоту и циклическую часто- ту колебаний. Запишите уравнения для смещения, скорости и ускоре- ния колебаний. 3. Математический маятник имеет длину 90 см. Чему равен период ко- лебаний этого маятника?

Ответ:

1. Амплитуда: 5 см, Фаза: 0, Период: 2 с, Частота: 0.5 Гц, Циклическая частота: 3.14 рад/с

Решение:

1. Уравнение гармонических колебаний имеет вид: \[x = 5\cos(3.14t)\]

Сравнивая с общим видом уравнения гармонических колебаний \[x = A\cos(\omega t + \phi_0)\]

Получаем:

• Амплитуда колебаний: \[A = 5 \text{ см}\]
• Начальная фаза: \[\phi_0 = 0\]
• Циклическая частота: \[\omega = 3.14 \text{ рад/с}\]

Период колебаний связан с циклической частотой соотношением: \[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \times 3.14}{3.14} = 2 \text{ с}\]

Частота колебаний: \[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ Гц}\]

Уравнение скорости: \[v = \frac{dx}{dt} = -5 \times 3.14 \sin(3.14t) = -15.7 \sin(3.14t) \text{ см/с}\]

Уравнение ускорения: \[a = \frac{dv}{dt} = -15.7 \times 3.14 \cos(3.14t) = -49.298 \cos(3.14t) \text{ см/с}^2\]

2. Амплитуда: 6 см, Период: 4 с, Частота: 0.25 Гц, Циклическая частота: 0.5π рад/с.

Решение:

С графика зависимости смещения от времени определяем:

• Амплитуда колебаний: \[A = 6 \text{ см}\]
• Период колебаний: \[T = 4 \text{ с}\]

Частота колебаний: \[f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ Гц}\]

Циклическая частота: \[\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \text{ рад/с}\]

Уравнение смещения: \[x = 6\cos(\frac{\pi}{2}t) \text{ см}\]

Уравнение скорости: \[v = \frac{dx}{dt} = -6 \times \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}t) = -3\pi \sin(\frac{\pi}{2}t) \text{ см/с}\]

Уравнение ускорения: \[a = \frac{dv}{dt} = -3\pi \times \frac{\pi}{2} \cos(\frac{\pi}{2}t) = -\frac{3\pi^2}{2} \cos(\frac{\pi}{2}t) \text{ см/с}^2\]

3. Период колебаний: 1.90 с.

Решение:

Период колебаний математического маятника определяется формулой: \[T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\]

где \[l\] - длина маятника, \[g\] - ускорение свободного падения (приближенно 9.8 м/с²).

Переведем длину маятника в метры: \[l = 90 \text{ см} = 0.9 \text{ м}\]

Подставим значения в формулу: \[T = 2\pi\sqrt{\frac{0.9}{9.8}} \approx 2 \times 3.14 \times \sqrt{0.0918} \approx 1.90 \text{ с}\]

Ответ:

1. Амплитуда: 5 см, Фаза: 0, Период: 2 с, Частота: 0.5 Гц, Циклическая частота: 3.14 рад/с

2. Амплитуда: 6 см, Период: 4 с, Частота: 0.25 Гц, Циклическая частота: 0.5π рад/с.

3. Период колебаний: 1.90 с.