Разложение функции y = ln (1 + x) в ряд Маклорена и область сходимости ряда следующие

Решение:

Ряд Маклорена для функции \( y = \ln(1+x) \) имеет вид:

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \dots \]

Эта формула справедлива при \( |x| < 1 \). Также ряд сходится при \( x = 1 \).

Таким образом, область сходимости ряда:

\[ -1 < x \le 1 \]

Среди предложенных вариантов, правильным является:

• \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \dots \); \( -1 < x \le 1 \)

Ответ: Вариант с рядом \( x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \dots \) и областью сходимости \( -1 < x \le 1 \).