Разложение в ряд Маклорена функции y = ln (1 + 2x) и область сходимости полученного ряда следующие

Решение:

Разложение функции \( y = \ln(1 + x) \) в ряд Маклорена имеет вид:

\[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \dots \]

Эта область сходимости для \( -1 < x \le 1 \).

Теперь рассмотрим функцию \( y = \ln(1 + 2x) \). Заменим \( x \) на \( 2x \) в общем разложении:

\[ \ln(1 + 2x) = (2x) - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} - \frac{(2x)^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{(2x)^n}{n} + \dots \]

Область сходимости определяется условием:

\[ -1 < 2x \le 1 \]

Разделив все части неравенства на 2, получим:

\[ -\frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2} \]

Сравним полученное разложение с предложенными вариантами:

• Вариант 1: \( 1 - (2x) + (2x)^2 - (2x)^3 + … + (-1)^n (2x)^n \) - это разложение функции \( \frac{1}{1+2x} \) (геометрическая прогрессия), а не \( \ln(1+2x) \).
• Вариант 2: \( 2x - \frac{(2x)^2}{2} + \frac{(2x)^3}{3} - \frac{(2x)^4}{4} + … + (-1)^{n-1} \frac{(2x)^n}{n} + … \) с областью сходимости \( -\frac{1}{2} < x \le \frac{1}{2} \). Это совпадает с нашим разложением.
• Вариант 3: \( 2x - \frac{4x^2}{2} - \frac{8x^3}{3} - \frac{16x^4}{4} + … + (-1)^{n-1} \frac{2^n x^n}{n} \). Здесь в разложении присутствуют неправильные коэффициенты и знак перед \( \frac{(2x)^3}{3} \) и \( \frac{(2x)^4}{4} \) тоже неверный.
• Вариант 4: \( 1 - x + x^2 - x^3 + … + (-1)^n x^n \) - это разложение \( \ln(1+x) \) при \( x \) вместо \( 2x \) и с неверной областью сходимости.

Ответ: 2x - \(\frac{(2x)^2}{2}\) + \(\frac{(2x)^3}{3}\) - \(\frac{(2x)^4}{4}\) + … + (-1)^{n-1} \(\frac{(2x)^n}{n}\) + …, область сходимости — (-1/2 < x ≤ 1/2).