Разложи на множители 81 - x^8. Выбери правильный ответ:

Решение:

Задание состоит в разложении выражения \( 81 - x^8 \) на множители. Это можно сделать, используя формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

1. Представим \( 81 \) как \( 9^2 \) и \( x^8 \) как \( (x^4)^2 \). Тогда выражение примет вид: \( 9^2 - (x^4)^2 \).
2. Применяем формулу разности квадратов: \( (9 - x^4)(9 + x^4) \).
3. Теперь рассмотрим множитель \( 9 - x^4 \). Мы можем представить \( 9 \) как \( 3^2 \) и \( x^4 \) как \( (x^2)^2 \). Тогда \( 9 - x^4 = 3^2 - (x^2)^2 \).
4. Снова применяем формулу разности квадратов: \( (3 - x^2)(3 + x^2) \).
5. Множитель \( 9 + x^4 \) нельзя разложить дальше на действительные множители.
6. Собираем все множители: \( (3 - x^2)(3 + x^2)(9 + x^4) \).

Среди предложенных вариантов, правильным является тот, который соответствует этому разложению. Давайте проверим варианты:

• \( (9 - x^4)^2 \) — неверно.
• \( 81 - 18x^4 + x^8 \) — это квадрат разности \( (9-x^4)^2 \), что не является разложением \( 81 - x^8 \).
• \( (9 - x^8)(9 + x^8) \) — неверно, так как \( x^8 \) вместо \( x^4 \).
• \( (9 + x^4)^2 \) — неверно.
• \( (3 - x^2)(3 + x^2)(9 + x^4) \) — это полное разложение.

Ответ: (3 - x²) ⋅ (3 + x²) ⋅ (9 + x⁴).