Разложи на множители (u + 17v)² - (17u + v)². (Найди конечное разложение, в котором каждый множитель, кроме числового коэффициента, уже нельзя разложить на множители!)

Решение:

Воспользуемся формулой разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \).

В данном случае \( a = (u + 17v) \) и \( b = (17u + v) \).

Тогда:

\( (u + 17v)^2 - (17u + v)^2 = \left[ (u + 17v) - (17u + v) \right] \cdot \left[ (u + 17v) + (17u + v) \right] \)

Шаг 1: Раскроем первую скобку:

\( (u + 17v) - (17u + v) = u + 17v - 17u - v = (u - 17u) + (17v - v) = -16u + 16v = 16(v - u) \)

Шаг 2: Раскроем вторую скобку:

\( (u + 17v) + (17u + v) = u + 17v + 17u + v = (u + 17u) + (17v + v) = 18u + 18v = 18(u + v) \)

Шаг 3: Перемножим полученные выражения:

\( 16(v - u) \cdot 18(u + v) = (16 \cdot 18) \cdot (v - u)(u + v) \)

Вычислим произведение числовых коэффициентов: \( 16 \cdot 18 = 288 \).

Заметим, что \( v - u = -(u - v) \). Поэтому:

\( 288 \cdot (v - u)(u + v) = 288 \cdot (-(u - v))(u + v) = -288 (u - v)(u + v) \)

Или, если оставить \( v - u \) как есть:

\( 288 (v - u)(u + v) \)

Проверим предложенные варианты ответов:

Вариант 1: \( 288(u^2 - v^2) = 288(u - v)(u + v) \). Это близко, но знак отличается.

Вариант 4: \( 288(-u + v) · (u + v) = 288(v - u)(u + v) \). Этот вариант совпадает с нашим результатом.

Вывод:

\( (u + 17v)^2 - (17u + v)^2 = -288(u - v)(u + v) \) или \( 288(v - u)(u + v) \). Оба варианта верны. Из предложенных вариантов, один совпадает с нами.

Ответ: 288(-u + v) · (u + v)