Разложи на множители выражение x³ + 27y³ + x² – 3xy + 9y².

Решение:

Данное выражение представляет собой сумму кубов и квадратный трёхчлен. Сначала разложим сумму кубов \( x^3 + 27y^3 \) по формуле \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \). Здесь \( a = x \) и \( b = 3y \).

1. Разложим сумму кубов: \( x^3 + 27y^3 = (x + 3y)(x^2 - x(3y) + (3y)^2) = (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) \).
2. Теперь рассмотрим всё выражение: \( (x + 3y)(x^2 - 3xy + 9y^2) + (x^2 - 3xy + 9y^2) \).
3. Видим, что \( (x^2 - 3xy + 9y^2) \) является общим множителем. Вынесем его за скобки: \( (x^2 - 3xy + 9y^2) ((x + 3y) + 1) \).
4. Упростим выражение во вторых скобках: \( (x^2 - 3xy + 9y^2) (x + 3y + 1) \).

Таким образом, разложенное выражение выглядит как \( (x + 3y + 1)(x^2 - 3xy + 9y^2) \).

Ответ: (x + 3y + 1)(x² – 3xy + 9y²).