Разложи на множители y³ - y² - 4y + 64.

Решение:

Разложим многочлен на множители способом группировки:

\( y^3 - y^2 - 4y + 64 \)

Сгруппируем члены многочлена:

\( (y^3 - y^2) + (-4y + 64) \)

Вынесем общий множитель из каждой группы:

\( y^2(y - 1) - 4(y - 16) \)

Данная группировка не даёт общего множителя. Попробуем другую группировку:

\( (y^3 + 64) - (y^2 + 4y) \)

Используем формулу суммы кубов \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \) для \( y^3 + 64 \) (где \( a = y \), \( b = 4 \)) и вынесем общий множитель \( y \) из второй скобки:

\( (y + 4)(y^2 - 4y + 16) - y(y + 4) \)

Теперь вынесем общий множитель \( (y + 4) \):

\( (y + 4)(y^2 - 4y + 16 - y) \)

Упростим выражение во второй скобке:

\( (y + 4)(y^2 - 5y + 16) \)

Проверим, можно ли разложить квадратный трёхчлен \( y^2 - 5y + 16 \) на множители. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 25 - 64 = -39 \]

Так как \( D < 0 \), квадратный трёхчлен \( y^2 - 5y + 16 \) не имеет действительных корней и не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами.

Таким образом, разложение на множители выглядит следующим образом:

\( (y + 4)(y^2 - 5y + 16) \)

Заполним пропуски в предложенной форме:

\( (y + 4) \cdot (y^2 - 5y + 16) \)

Где первое поле — 4, второе поле — -5, третье поле — 16.

Ответ: (y + 4)(y² - 5y + 16).