Разложить в степенной ряд по степеням х функции: ex-1 14.16. y= x 14.17. y=xln(1+x²). 14.18. y = cos²x. x+ln(1-x) 14.19. y= x² Вычислить приближенно с точностью до 0,0001: 1 14.20. 14.21. In 1.1 14.22. sin 0,4. 14.23. 130 14.24. In 3.

14.16. Разложить функцию \( y = \frac{e^x - 1}{x} \) в степенной ряд.

Разложение \( e^x \) в ряд Маклорена: \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... \]

Тогда: \[ e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... \] \[ \frac{e^x - 1}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \frac{x^3}{4!} + ... \]

14.17. Разложить функцию \( y = x \ln(1 + x^2) \) в степенной ряд.

Разложение \( \ln(1 + x) \) в ряд Маклорена: \[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... \]

Заменим \( x \) на \( x^2 \): \[ \ln(1 + x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^6}{3} - \frac{x^8}{4} + ... \] \[ x \ln(1 + x^2) = x^3 - \frac{x^5}{2} + \frac{x^7}{3} - \frac{x^9}{4} + ... \]

14.18. Разложить функцию \( y = \cos^2 x \) в степенной ряд.

Используем формулу \( \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \).

Разложение \( \cos x \) в ряд Маклорена: \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... \] \[ \cos 2x = 1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + ... = 1 - \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} - \frac{64x^6}{6!} + ... \] \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1 + (1 - \frac{4x^2}{2!} + \frac{16x^4}{4!} - \frac{64x^6}{6!} + ...)}{2} \] \[ \cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{x^4}{3} - \frac{2x^6}{45} + ... \]

14.19. Разложить функцию \( y = \frac{x + \ln(1 - x)}{x^2} \) в степенной ряд.

Разложение \( \ln(1 - x) \) в ряд Маклорена: \[ \ln(1 - x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ... \] \[ x + \ln(1 - x) = x - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ... = -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ... \] \[ \frac{x + \ln(1 - x)}{x^2} = -\frac{1}{2} - \frac{x}{3} - \frac{x^2}{4} - \frac{x^3}{5} - ... \]

14.20. Вычислить приближенно \( \frac{1}{\sqrt[6]{e^7}} \) с точностью до 0,0001.

Преобразуем выражение: \[ \frac{1}{\sqrt[6]{e^7}} = e^{-\frac{7}{6}} \]

Используем разложение \( e^x \) в ряд Маклорена: \[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + ... \]

Подставим \( x = -\frac{7}{6} \): \[ e^{-\frac{7}{6}} = 1 - \frac{7}{6} + \frac{(\frac{7}{6})^2}{2!} - \frac{(\frac{7}{6})^3}{3!} + \frac{(\frac{7}{6})^4}{4!} - ... \approx 0.290 \]

14.21. Вычислить приближенно \( \ln 1.1 \) с точностью до 0,0001.

Используем разложение \( \ln(1 + x) \) в ряд Маклорена: \[ \ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + ... \]

Подставим \( x = 0.1 \): \[ \ln(1.1) = 0.1 - \frac{0.1^2}{2} + \frac{0.1^3}{3} - \frac{0.1^4}{4} + ... \approx 0.0953 \]

14.22. Вычислить приближенно \( \sin 0.4 \) с точностью до 0,0001.

Используем разложение \( \sin x \) в ряд Маклорена: \[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... \]

Подставим \( x = 0.4 \): \[ \sin 0.4 = 0.4 - \frac{0.4^3}{3!} + \frac{0.4^5}{5!} - \frac{0.4^7}{7!} + ... \approx 0.3894 \]

14.23. Вычислить приближенно \( \sqrt[3]{130} \) с точностью до 0,0001.

Представим \( \sqrt[3]{130} \) как \( \sqrt[3]{125 + 5} = \sqrt[3]{125(1 + \frac{5}{125})} = 5 \sqrt[3]{1 + \frac{1}{25}} \).

Используем разложение \( (1 + x)^\alpha \) в ряд Тейлора: \[ (1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + ... \]

В нашем случае \( \alpha = \frac{1}{3} \) и \( x = \frac{1}{25} \): \[ 5 \sqrt[3]{1 + \frac{1}{25}} = 5(1 + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{25} + \frac{\frac{1}{3}(\frac{1}{3} - 1)}{2!} (\frac{1}{25})^2 + ...) \approx 5.0133 \]

14.24. Вычислить приближенно \( \ln 3 \) с точностью до 0,0001.

Используем разложение \( \ln \frac{1+x}{1-x} \) в ряд Маклорена: \[ \ln \frac{1+x}{1-x} = 2(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + ...) \]

Пусть \( \frac{1+x}{1-x} = 3 \), тогда \( 1 + x = 3 - 3x \), \( 4x = 2 \), \( x = \frac{1}{2} \).

Подставим \( x = \frac{1}{2} \): \[ \ln 3 = 2(\frac{1}{2} + \frac{(\frac{1}{2})^3}{3} + \frac{(\frac{1}{2})^5}{5} + ...) \approx 1.0986 \]