60. Разложите на линейные множители квадратный трехчлен: 1) 2x27x + 3; 3) 3y² - 11y- 20; 5) m²-2m-3; 2) 6a2 + 5a6; 4) 12x²+ 7x + 1; 6)-x2+5x6.

Решение:

1) Разложим квадратный трехчлен $$2x^2-7x+3$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$2x^2-7x+3=0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$$. Так как $$D>0$$, то уравнение имеет два корня.

$$x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7+5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

$$x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7-5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Теперь можно разложить квадратный трехчлен на множители: $$2x^2-7x+3 = 2(x-3)(x-\frac{1}{2}) = (x-3)(2x-1)$$.

Ответ: $$(x-3)(2x-1)$$

2) Разложим квадратный трехчлен $$6a^2+5a-6$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$6a^2+5a-6=0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169$$. Так как $$D>0$$, то уравнение имеет два корня.

$$a_1 = \frac{-5 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-5+13}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

$$a_2 = \frac{-5 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{-5-13}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}$$

Теперь можно разложить квадратный трехчлен на множители: $$6a^2+5a-6 = 6(a-\frac{2}{3})(a+\frac{3}{2}) = (3a-2)(2a+3)$$.

Ответ: $$(3a-2)(2a+3)$$

3) Разложим квадратный трехчлен $$3y^2-11y-20$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$3y^2-11y-20=0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 121 + 240 = 361$$. Так как $$D>0$$, то уравнение имеет два корня.

$$y_1 = \frac{-(-11) + \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11+19}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

$$y_2 = \frac{-(-11) - \sqrt{361}}{2 \cdot 3} = \frac{11-19}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$$

Теперь можно разложить квадратный трехчлен на множители: $$3y^2-11y-20 = 3(y-5)(y+\frac{4}{3}) = (y-5)(3y+4)$$.

Ответ: $$(y-5)(3y+4)$$

4) Разложим квадратный трехчлен $$12x^2+7x+1$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$12x^2+7x+1=0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = 7^2 - 4 \cdot 12 \cdot 1 = 49 - 48 = 1$$. Так как $$D>0$$, то уравнение имеет два корня.

$$x_1 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 12} = \frac{-7+1}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$$

$$x_2 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 12} = \frac{-7-1}{24} = \frac{-8}{24} = -\frac{1}{3}$$

Теперь можно разложить квадратный трехчлен на множители: $$12x^2+7x+1 = 12(x+\frac{1}{4})(x+\frac{1}{3}) = (4x+1)(3x+1)$$.

Ответ: $$(4x+1)(3x+1)$$

5) Разложим квадратный трехчлен $$m^2-2m-3$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$m^2-2m-3=0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$. Так как $$D>0$$, то уравнение имеет два корня.

$$m_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$m_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2-4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Теперь можно разложить квадратный трехчлен на множители: $$m^2-2m-3 = (m-3)(m+1)$$.

Ответ: $$(m-3)(m+1)$$

6) Разложим квадратный трехчлен $$-x^2+5x-6$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$-x^2+5x-6=0$$.

Вычислим дискриминант: $$D = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 25 - 24 = 1$$. Так как $$D>0$$, то уравнение имеет два корня.

$$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-5+1}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2$$

$$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{1}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-5-1}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3$$

Теперь можно разложить квадратный трехчлен на множители: $$-x^2+5x-6 = -(x-2)(x-3)$$.

Ответ: $$-(x-2)(x-3)$$