20.13. Разложите на множители: 1) (a² + b²)² - 4a²b²; 2) 81 - (x² + 6x)²; 3) a² + 2ab + b²-c²; 4) c²+4c + 4-k²; 5) 9a² + c² + 6ac - 9; 6) a²-b² - 10b - 25; 7) 49-y² + x² – 14г; 8) mn² - m³ - 12m² - 36m.

20.13. Разложите на множители:

1) (a² + b²)² - 4a²b²

Давай разберем по порядку. Здесь нам нужно разложить выражение (a² + b²)² - 4a²b² на множители. Для этого сначала раскроем скобки и упростим выражение:

(a² + b²)² - 4a²b² = a⁴ + 2a²b² + b⁴ - 4a²b² = a⁴ - 2a²b² + b⁴

Теперь мы видим, что это выражение можно свернуть в полный квадрат:

a⁴ - 2a²b² + b⁴ = (a² - b²)²

Далее, (a² - b²) можно разложить как разность квадратов:

(a² - b²) = (a - b)(a + b)

Таким образом, получаем:

(a² - b²)² = ((a - b)(a + b))² = (a - b)²(a + b)²

Ответ: (a - b)²(a + b)²

---

2) 81 - (x² + 6x)²

Сначала заметим, что 81 это 9 в квадрате, то есть 9² = 81. Теперь у нас есть разность квадратов: 9² - (x² + 6x)². Воспользуемся формулой разности квадратов a² - b² = (a - b)(a + b), где a = 9 и b = (x² + 6x).

Тогда получим: 9² - (x² + 6x)² = (9 - (x² + 6x))(9 + (x² + 6x))

Раскроем скобки: (9 - x² - 6x)(9 + x² + 6x)

Теперь переставим слагаемые, чтобы было удобнее: (-x² - 6x + 9)(x² + 6x + 9)

Заметим, что (x² + 6x + 9) это полный квадрат: (x + 3)² (x² + 6x + 9) = (x + 3)²

Тогда выражение можно переписать так: (-x² - 6x + 9)(x + 3)²

Ответ: (-x² - 6x + 9)(x + 3)²

---

3) a² + 2ab + b² - c²

Выражение a² + 2ab + b² - c² можно упростить, заметив, что a² + 2ab + b² является полным квадратом. Вспомним формулу (a + b)² = a² + 2ab + b².

Тогда наше выражение можно переписать как: (a + b)² - c²

Теперь у нас есть разность квадратов: (a + b)² - c². Вспомним формулу разности квадратов: x² - y² = (x - y)(x + y).

Применим эту формулу к нашему выражению, где x = (a + b) и y = c: (a + b)² - c² = ((a + b) - c)((a + b) + c)

Раскроем скобки: (a + b - c)(a + b + c)

Ответ: (a + b - c)(a + b + c)

---

4) c² + 4c + 4 - k²

Заметим, что c² + 4c + 4 является полным квадратом. Вспомним формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². В данном случае, c² + 4c + 4 = (c + 2)².

Тогда наше выражение можно переписать как: (c + 2)² - k²

Теперь у нас есть разность квадратов: (c + 2)² - k². Вспомним формулу разности квадратов: x² - y² = (x - y)(x + y).

Применим эту формулу к нашему выражению, где x = (c + 2) и y = k: (c + 2)² - k² = ((c + 2) - k)((c + 2) + k)

Раскроем скобки: (c + 2 - k)(c + 2 + k)

Ответ: (c + 2 - k)(c + 2 + k)

---

5) 9a² + c² + 6ac - 9

Давай разберем по порядку. Сначала перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть полный квадрат: 9a² + 6ac + c² - 9

Заметим, что 9a² + 6ac + c² является полным квадратом. Вспомним формулу (x + y)² = x² + 2xy + y². В данном случае, (3a)² + 2(3a)(c) + c² = (3a + c)².

Тогда наше выражение можно переписать как: (3a + c)² - 9

Теперь у нас есть разность квадратов: (3a + c)² - 9. Заметим, что 9 это 3 в квадрате, то есть 3² = 9. Вспомним формулу разности квадратов: x² - y² = (x - y)(x + y).

Применим эту формулу к нашему выражению, где x = (3a + c) и y = 3: (3a + c)² - 3² = ((3a + c) - 3)((3a + c) + 3)

Раскроем скобки: (3a + c - 3)(3a + c + 3)

Ответ: (3a + c - 3)(3a + c + 3)

---

6) a² - b² - 10b - 25

Давай разберем по порядку. Сначала перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть полный квадрат: a² - (b² + 10b + 25)

Заметим, что b² + 10b + 25 является полным квадратом. Вспомним формулу (x + y)² = x² + 2xy + y². В данном случае, b² + 2(b)(5) + 5² = (b + 5)².

Тогда наше выражение можно переписать как: a² - (b + 5)²

Теперь у нас есть разность квадратов: a² - (b + 5)². Вспомним формулу разности квадратов: x² - y² = (x - y)(x + y).

Применим эту формулу к нашему выражению, где x = a и y = (b + 5): a² - (b + 5)² = (a - (b + 5))(a + (b + 5))

Раскроем скобки: (a - b - 5)(a + b + 5)

Ответ: (a - b - 5)(a + b + 5)

---

7) 49 - y² + x² - 14x

Перегруппируем слагаемые, чтобы увидеть полный квадрат: 49 - 14x + x² - y²

Заметим, что 49 - 14x + x² является полным квадратом. Вспомним формулу (a - b)² = a² - 2ab + b². В данном случае, 7² - 2(7)(x) + x² = (7 - x)².

Тогда наше выражение можно переписать как: (7 - x)² - y²

Теперь у нас есть разность квадратов: (7 - x)² - y². Вспомним формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).

Применим эту формулу к нашему выражению, где a = (7 - x) и b = y: (7 - x)² - y² = ((7 - x) - y)((7 - x) + y)

Раскроем скобки: (7 - x - y)(7 - x + y)

Ответ: (7 - x - y)(7 - x + y)

---

8) mn² - m³ - 12m² - 36m

Вынесем общий множитель m за скобки: m(n² - m² - 12m - 36)

Теперь сгруппируем последние три члена и вынесем минус за скобки: m(n² - (m² + 12m + 36))

Заметим, что m² + 12m + 36 является полным квадратом. Вспомним формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². В данном случае, m² + 2(m)(6) + 6² = (m + 6)².

Тогда наше выражение можно переписать как: m(n² - (m + 6)²)

Теперь у нас есть разность квадратов: n² - (m + 6)². Вспомним формулу разности квадратов: a² - b² = (a - b)(a + b).

Применим эту формулу к нашему выражению, где a = n и b = (m + 6): m(n² - (m + 6)²) = m((n - (m + 6))(n + (m + 6)))

Раскроем скобки: m(n - m - 6)(n + m + 6)

Ответ: m(n - m - 6)(n + m + 6)

Ты отлично справляешься с разложением на множители! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!