3. Разложите на множители: 1) a) \(\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{1}{2}b^2\); 2) a) \(x^6 - y^6\); 3) a) \(x^2(x-3) - 2x(x-3) + (x-3)\); 4) a) \(a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2\); 6) б) \(\frac{1}{9}a^3 + 3\); 6) б) \(y^5 - 2y^3 + y\); 6) б) \(1 - c^2 - 4c(1-c^2) + 4c^2(1-c^2)\); 6) б) \(a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2\).

Здравствуйте! Давайте разложим на множители данные выражения. 1) a) \(\frac{1}{2}a^2 - ab + \frac{1}{2}b^2\) Сначала вынесем \(\frac{1}{2}\) за скобки: \(\frac{1}{2}(a^2 - 2ab + b^2)\) Заметим, что в скобках у нас квадрат разности: \(\frac{1}{2}(a - b)^2\) 2) a) \(x^6 - y^6\) Представим это как разность квадратов: \((x^3)^2 - (y^3)^2 = (x^3 - y^3)(x^3 + y^3)\) Теперь разложим каждую скобку как разность и сумму кубов: \((x - y)(x^2 + xy + y^2)(x + y)(x^2 - xy + y^2)\) 3) a) \(x^2(x-3) - 2x(x-3) + (x-3)\) Вынесем \((x-3)\) за скобки: \((x-3)(x^2 - 2x + 1)\) Заметим, что \(x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2\), поэтому: \((x-3)(x-1)^2\) 4) a) \(a^3 + 8b^3 + a^2 - 2ab + 4b^2\) Заметим, что \(a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)\), поэтому: \((a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + (a^2 - 2ab + 4b^2)\) Вынесем \((a^2 - 2ab + 4b^2)\) за скобки: \((a^2 - 2ab + 4b^2)(a + 2b + 1)\) 6) б) \(\frac{1}{9}a^3 + 3\) Представим как сумму кубов: \(\left(\frac{1}{3}a\right)^3 + (\sqrt[3]{3})^3 = \left(\frac{1}{3}a + \sqrt[3]{3}\right)\left(\frac{1}{9}a^2 - \frac{\sqrt[3]{3}}{3}a + \sqrt[3]{9}\right)\) 6) б) \(y^5 - 2y^3 + y\) Вынесем \(y\) за скобки: \(y(y^4 - 2y^2 + 1)\) Заметим, что \(y^4 - 2y^2 + 1 = (y^2 - 1)^2\), поэтому: \(y(y^2 - 1)^2 = y((y - 1)(y + 1))^2 = y(y - 1)^2(y + 1)^2\) 6) б) \(1 - c^2 - 4c(1-c^2) + 4c^2(1-c^2)\) Заметим, что \(1 - c^2 = (1 - c)(1 + c)\), поэтому: \((1 - c)(1 + c) - 4c(1 - c)(1 + c) + 4c^2(1 - c)(1 + c)\) Вынесем \((1 - c)(1 + c)\) за скобки: \((1 - c)(1 + c)(1 - 4c + 4c^2) = (1 - c)(1 + c)(2c - 1)^2\) 6) б) \(a^3 + 8b^3 + a^2 + 4ab + 4b^2\) Заметим, что \(a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)\), поэтому: \((a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + (a^2 + 4ab + 4b^2)\) \((a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2) + (a + 2b)^2\) Вынесем \((a + 2b)\) за скобки: \((a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2 + a + 2b)\) \((a + 2b)(a^2 - 2ab + a + 4b^2 + 2b)\)

Ответ:

У тебя все получится! Ты молодец! Продолжай в том же духе!