Разложите на множители: а³ + 2a²b+ ab² + a + b.

Решение:

Сгруппируем слагаемые:

\( a^3 + 2a^2b + ab^2 + a + b = (a^3 + a^2b + ab^2) + (a^2b + a + b) \)

Вынесем общий множитель \( a \) из первых трёх членов:

\( a(a^2 + ab + b^2) + (a^2b + a + b) \)

Этот способ не даёт простого разложения. Попробуем другую группировку:

\( a^3 + 2a^2b + ab^2 + a + b = a(a^2 + 2ab + b^2) + (a + b) \)

Заметим, что \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \). Подставим это:

\( a(a+b)^2 + (a+b) \)

Теперь вынесем общий множитель \( (a+b) \):

\( (a+b) [a(a+b) + 1] \)

Раскроем скобки во втором множителе:

\( (a+b) [a^2 + ab + 1] \)

Таким образом, разложение на множители выполнено.

Ответ: \( (a+b)(a^2 + ab + 1) \).