Разложите на множители: a) 81x6 – 0,0016y4 (8 баллов); б) 9/16x² + 18xy⁴ + 144y⁸ (8 баллов); в) x⁴ - 2x² - 8 (10 баллов).

Привет! Давай разберем эти задания по разложению на множители.

Задание 1: Разложение на множители

а) 81x⁶ – 0,0016y⁴

Здесь у нас разность квадратов. Сначала представим числа как квадраты:

• $$81 = 9^2$$
• $$0,0016 = (0,04)^2$$
• $$x^6 = (x^3)^2$$
• $$y^4 = (y^2)^2$$

Теперь применяем формулу разности квадратов $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$:

\[ 81x^6 - 0,0016y^4 = (9x^3)^2 - (0,04y^2)^2 = (9x^3 - 0,04y^2)(9x^3 + 0,04y^2) \]

б) $$\frac{9}{16}x^2 + 18xy^4 + 144y^8$$

Это похоже на квадрат суммы $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$. Проверим:

• $$a^2 = \frac{9}{16}x^2 → a = \frac{3}{4}x$$
• $$b^2 = 144y^8 → b = 12y^4$$
• $$2ab = 2 \times \frac{3}{4}x \times 12y^4 = \frac{3}{2}x \times 12y^4 = 18xy^4$$

Все сходится! Значит, это квадрат суммы:

\[ \frac{9}{16}x^2 + 18xy^4 + 144y^8 = \left(\frac{3}{4}x + 12y^4\right)^2 \]

в) $$x^4 - 2x^2 - 8$$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $$t = x^2$$. Тогда уравнение примет вид:

\[ t^2 - 2t - 8 \]

Теперь решим это квадратное уравнение относительно $$t$$. Найдем дискриминант $$D = b^2 - 4ac$$:

\[ D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36 \]

Найдем корни $$t_1$$ и $$t_2$$:

\[ t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

\[ t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Теперь вернемся к замене $$t = x^2$$:

• $$x^2 = -2$$. Это уравнение не имеет действительных корней.
• $$x^2 = 4 → x = \pm 2$$

Теперь разложим квадратный трехчлен $$t^2 - 2t - 8$$ на множители:

\[ t^2 - 2t - 8 = (t - t_1)(t - t_2) = (t - (-2))(t - 4) = (t + 2)(t - 4) \]

Подставим обратно $$x^2$$ вместо $$t$$:

\[ (x^2 + 2)(x^2 - 4) \]

Заметим, что $$x^2 - 4$$ — это тоже разность квадратов:

\[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \]

Итоговое разложение:

\[ x^4 - 2x^2 - 8 = (x^2 + 2)(x - 2)(x + 2) \]