Разложите на множители: a) x^2*y^2 - 1 б) a^4 - 24 + 8a - 3a^3

Решение:

а) Разложение на множители:

• Используем формулу разности квадратов: \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \).
• В данном случае \( x^2y^2 = (xy)^2 \) и \( 1 = 1^2 \).
• Таким образом, \( x^2y^2 - 1 = (xy - 1)(xy + 1) \).

б) Разложение на множители:

1. Перепишем многочлен в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней \( a \): \( -3a^3 + a^4 + 8a - 24 \).
2. Перегруппируем члены для облегчения факторизации: \( (a^4 - 3a^3) + (8a - 24) \).
3. Вынесем общий множитель из каждой группы: \( a^3(a - 3) + 8(a - 3) \).
4. Теперь вынесем общий множитель \( (a - 3) \): \( (a - 3)(a^3 + 8) \).
5. Заметим, что \( a^3 + 8 \) является суммой кубов, которая раскладывается по формуле \( x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) \).
6. В данном случае \( x = a \) и \( y = 2 \).
7. Таким образом, \( a^3 + 8 = (a + 2)(a^2 - 2a + 4) \).
8. Объединяя все множители, получаем: \( (a - 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4) \).

Ответ: а) \( (xy - 1)(xy + 1) \); б) \( (a - 3)(a + 2)(a^2 - 2a + 4) \).