1 Разложите на множители квадратный многочлен: a) x²-10x+21; б) 5y²+9y-2. 2 Решите уравнение: x² 6x-8 x+4 x +4 3 Один из корней уравнения х² + 6x 16 = 0 равен 2. С помощью теоремы Виета найдите второй корень уравнения. 4. Одно из двух натуральных чисел на 6 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 216. 5. Решите уравнение: (x-3)2-2(x-3) -24 = 0

Привет! Сейчас помогу тебе с этим заданием. Будем разбирать все по порядку.

Задание 1: Разложение на множители квадратного многочлена

a) \(x^2 - 10x + 21\)

Нам нужно найти два числа, которые в сумме дают -10, а в произведении 21. Это числа -7 и -3, так как (-7) + (-3) = -10 и (-7) * (-3) = 21. Тогда: \[x^2 - 10x + 21 = (x - 7)(x - 3)\]

б) \(5y^2 + 9y - 2\)

Здесь немного сложнее, так как есть коэффициент перед \(y^2\). Можно разложить так:

Ищем корни квадратного уравнения \(5y^2 + 9y - 2 = 0\). Для этого вычислим дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121\]

Теперь найдем корни: \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 11}{10} = \frac{2}{10} = 0.2\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 11}{10} = \frac{-20}{10} = -2\]

Значит, разложение будет таким: \[5y^2 + 9y - 2 = 5(y - 0.2)(y + 2) = 5(y - \frac{1}{5})(y + 2) = (5y - 1)(y + 2)\]

Задание 2: Решите уравнение

\[\frac{x^2}{x + 4} = \frac{6x - 8}{x + 4}\]

Умножим обе части уравнения на \(x + 4\) (при условии, что \(x
eq -4\)): \[x^2 = 6x - 8\]\[x^2 - 6x + 8 = 0\]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Ищем два числа, которые в сумме дают 6, а в произведении 8. Это числа 4 и 2: \[(x - 4)(x - 2) = 0\]

Значит, корни уравнения: \(x_1 = 4\) и \(x_2 = 2\). Оба корня не равны -4, так что все в порядке.

Задание 3: Теорема Виета

Дано уравнение \(x^2 + 6x - 16 = 0\) и один из корней \(x_1 = 2\). Нужно найти второй корень.

По теореме Виета, для квадратного уравнения \(x^2 + bx + c = 0\) сумма корней равна \(-b\), а произведение корней равно \(c\). В нашем случае: \[x_1 + x_2 = -6\]\[x_1 \cdot x_2 = -16\]

Подставим известный корень \(x_1 = 2\) в первое уравнение: \[2 + x_2 = -6\]\[x_2 = -6 - 2 = -8\]

Проверим, подходит ли этот корень для второго уравнения: \[2 \cdot (-8) = -16\]

Все верно, значит, второй корень равен -8.

Задание 4: Натуральные числа

Одно из чисел на 6 меньше другого, и их произведение равно 216. Пусть первое число \(n\), тогда второе число \(n + 6\). Имеем: \[n(n + 6) = 216\]\[n^2 + 6n - 216 = 0\]

Найдем корни этого уравнения. Ищем два числа, которые в сумме дают -6, а в произведении -216. Это числа 12 и -18: \[(n - 12)(n + 18) = 0\]

Корни: \(n_1 = 12\) и \(n_2 = -18\). Так как числа натуральные, то \(n = 12\). Тогда второе число \(n + 6 = 12 + 6 = 18\).

Задание 5: Решите уравнение

\[(x - 3)^2 - 2(x - 3) - 24 = 0\]

Пусть \(y = x - 3\), тогда уравнение примет вид: \[y^2 - 2y - 24 = 0\]

Ищем два числа, которые в сумме дают 2, а в произведении -24. Это числа -4 и 6: \[(y - 6)(y + 4) = 0\]

Корни: \(y_1 = 6\) и \(y_2 = -4\).

Теперь найдем \(x\): \[x - 3 = 6 \Rightarrow x_1 = 9\]\[x - 3 = -4 \Rightarrow x_2 = -1\]

Ответ:

1) a) \((x - 7)(x - 3)\), б) \((5y - 1)(y + 2)\) 2) \(x_1 = 4, x_2 = 2\) 3) \(x_2 = -8\) 4) 12 и 18 5) \(x_1 = 9, x_2 = -1\)

Молодец! Ты отлично справился с заданием. У тебя все получится!