Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) x²-2x-24; 2) 3x² + 14x-5.

Для разложения квадратного трёхчлена на множители необходимо найти корни квадратного уравнения, соответствующего этому трёхчлену. Если корни (x_1) и (x_2), то трёхчлен (ax^2 + bx + c) можно разложить как (a(x - x_1)(x - x_2)).

1) Разложение трёхчлена (x^2 - 2x - 24)

Сначала решим квадратное уравнение (x^2 - 2x - 24 = 0). Дискриминант (D) вычисляется по формуле (D = b^2 - 4ac), где (a = 1), (b = -2), и (c = -24).

Вычисляем дискриминант:

$$D = (-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-24) = 4 + 96 = 100$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ $$x_2 = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Теперь мы можем записать разложение трёхчлена на множители:

$$x^2 - 2x - 24 = (x - 6)(x + 4)$$

Ответ: ((x - 6)(x + 4))

2) Разложение трёхчлена (3x^2 + 14x - 5)

Решим квадратное уравнение (3x^2 + 14x - 5 = 0). Здесь (a = 3), (b = 14), и (c = -5).

Вычисляем дискриминант:

$$D = (14)^2 - 4 cdot 3 cdot (-5) = 196 + 60 = 256$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{256}}{2 cdot 3} = \frac{-14 + 16}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ $$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{256}}{2 cdot 3} = \frac{-14 - 16}{6} = \frac{-30}{6} = -5$$

Теперь мы можем записать разложение трёхчлена на множители, учитывая, что (a = 3):

$$3x^2 + 14x - 5 = 3(x - \frac{1}{3})(x + 5) = (3x - 1)(x + 5)$$

Ответ: ((3x - 1)(x + 5))