Разложите на множители квадратный трёхчлен: 1) x²-4x-82; Решите уравнение: 1) x⁴-35x² - 36 = 0; 2) 4x²-15x + 9. 2) x²-7x/x+2 = 18/x+2 Сократите дробь 4a²+a-3/a²-1 Решите уравнение: 10/x²-100 + x-20/x²+10x - 5/x²-10x = 0. Первый автомобиль проезжает расстояние, равное 300 км, на 1 ч быстрее, чем второй. Найдите скорость каждого автомобиля, если скорость первого автомобиля на 10 км/ч больше скорости второго. Постройте график функции у = x²+2x-15/x-3

Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1. x² - 4x - 32

   Чтобы разложить квадратный трехчлен на множители, сначала найдем его корни, решив квадратное уравнение x² - 4x - 32 = 0.

   Дискриминант D = b² - 4ac = (-4)² - 4 * 1 * (-32) = 16 + 128 = 144.

   Корни уравнения: x₁ = (4 + √144) / 2 = (4 + 12) / 2 = 8, x₂ = (4 - √144) / 2 = (4 - 12) / 2 = -4.

   Разложение на множители: x² - 4x - 32 = (x - 8)(x + 4).

2. 4x² - 15x + 9

   Решим квадратное уравнение 4x² - 15x + 9 = 0.

   Дискриминант D = b² - 4ac = (-15)² - 4 * 4 * 9 = 225 - 144 = 81.

   Корни уравнения: x₁ = (15 + √81) / (2 * 4) = (15 + 9) / 8 = 3, x₂ = (15 - √81) / (2 * 4) = (15 - 9) / 8 = 0.75.

   Разложение на множители: 4x² - 15x + 9 = 4(x - 3)(x - 0.75) = (x - 3)(4x - 3).

Решите уравнение:

1. x⁴ - 35x² - 36 = 0

   Пусть y = x², тогда уравнение примет вид y² - 35y - 36 = 0.

   Дискриминант D = b² - 4ac = (-35)² - 4 * 1 * (-36) = 1225 + 144 = 1369.

   Корни уравнения: y₁ = (35 + √1369) / 2 = (35 + 37) / 2 = 36, y₂ = (35 - √1369) / 2 = (35 - 37) / 2 = -1.

   Так как y = x², то x² = 36 или x² = -1.

   x² = 36 => x = ±6; x² = -1 не имеет действительных корней.

   Ответ: x = ±6.

2. x²-7x/x+2 = 18/x+2

   Приведем уравнение к общему знаменателю:

   (x² - 7x)/(x + 2) - 18/(x + 2) = 0

   (x² - 7x - 18) / (x + 2) = 0

   x² - 7x - 18 = 0

   Дискриминант D = (-7)² - 4 * 1 * (-18) = 49 + 72 = 121

   Корни уравнения: x₁ = (7 + √121) / 2 = (7 + 11) / 2 = 9, x₂ = (7 - √121) / 2 = (7 - 11) / 2 = -2.

   Но x ≠ -2, так как знаменатель не может быть равен нулю.

   Ответ: x = 9.

Сократите дробь:

(4a² + a - 3) / (a² - 1)

Разложим числитель и знаменатель на множители.

4a² + a - 3 = 0

D = 1² - 4 * 4 * (-3) = 1 + 48 = 49

a₁ = (-1 + √49) / (2 * 4) = (-1 + 7) / 8 = 0.75

a₂ = (-1 - √49) / (2 * 4) = (-1 - 7) / 8 = -1

4a² + a - 3 = 4(a - 0.75)(a + 1) = (4a - 3)(a + 1)

a² - 1 = (a - 1)(a + 1)

(4a² + a - 3) / (a² - 1) = ((4a - 3)(a + 1)) / ((a - 1)(a + 1)) = (4a - 3) / (a - 1)

Решите уравнение:

10/(x² - 100) + (x - 20)/(x² + 10x) - 5/(x² - 10x) = 0

10/((x - 10)(x + 10)) + (x - 20)/(x(x + 10)) - 5/(x(x - 10)) = 0

Умножим обе части уравнения на x(x - 10)(x + 10), чтобы избавиться от знаменателей:

10x + (x - 20)(x - 10) - 5(x + 10) = 0

10x + x² - 30x + 200 - 5x - 50 = 0

x² - 25x + 150 = 0

D = (-25)² - 4 * 1 * 150 = 625 - 600 = 25

x₁ = (25 + √25) / 2 = (25 + 5) / 2 = 15

x₂ = (25 - √25) / 2 = (25 - 5) / 2 = 10

Но x ≠ 10 и x ≠ -10, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Ответ: x = 15.

Задача про автомобили

Пусть v км/ч - скорость второго автомобиля, тогда (v + 10) км/ч - скорость первого автомобиля.

Время, которое тратит первый автомобиль: 300 / (v + 10).

Время, которое тратит второй автомобиль: 300 / v.

300 / v - 300 / (v + 10) = 1

300(v + 10) - 300v = v(v + 10)

300v + 3000 - 300v = v² + 10v

v² + 10v - 3000 = 0

D = 10² - 4 * 1 * (-3000) = 100 + 12000 = 12100

v₁ = (-10 + √12100) / 2 = (-10 + 110) / 2 = 50

v₂ = (-10 - √12100) / 2 = (-10 - 110) / 2 = -60 (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

Скорость второго автомобиля: 50 км/ч.

Скорость первого автомобиля: 50 + 10 = 60 км/ч.

Постройте график функции

y = (x² + 2x - 15) / (x - 3)

Разложим числитель на множители:

x² + 2x - 15 = 0

D = 2² - 4 * 1 * (-15) = 4 + 60 = 64

x₁ = (-2 + √64) / 2 = (-2 + 8) / 2 = 3

x₂ = (-2 - √64) / 2 = (-2 - 8) / 2 = -5

x² + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5)

y = ((x - 3)(x + 5)) / (x - 3)

При x ≠ 3, y = x + 5.

График функции y = x + 5 с выколотой точкой при x = 3.