Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) x² - x - 42; б) y² + 9y + 18; в) 81x² + 18x + 1; г) 16b² - 24b + 9; д) 6x² - x - 1; e) 3a² - 13a - 10.

• a) Разложим квадратный трехчлен $$x^2 - x - 42$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$x^2 - x - 42 = 0$$. Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169$$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{169}}{2} = \frac{1 + 13}{2} = \frac{14}{2} = 7$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{169}}{2} = \frac{1 - 13}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$. Тогда $$x^2 - x - 42 = (x - 7)(x + 6)$$.
• б) Разложим квадратный трехчлен $$y^2 + 9y + 18$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$y^2 + 9y + 18 = 0$$. Дискриминант $$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$$. Корни уравнения: $$y_1 = \frac{-9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-9 + 3}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$, $$y_2 = \frac{-9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-9 - 3}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$. Тогда $$y^2 + 9y + 18 = (y + 3)(y + 6)$$.
• в) Разложим квадратный трехчлен $$81x^2 + 18x + 1$$ на множители. Заметим, что это полный квадрат: $$(9x)^2 + 2 \cdot 9x \cdot 1 + 1^2 = (9x + 1)^2$$. Тогда $$81x^2 + 18x + 1 = (9x + 1)(9x + 1) = (9x + 1)^2$$.
• г) Разложим квадратный трехчлен $$16b^2 - 24b + 9$$ на множители. Заметим, что это полный квадрат: $$(4b)^2 - 2 \cdot 4b \cdot 3 + 3^2 = (4b - 3)^2$$. Тогда $$16b^2 - 24b + 9 = (4b - 3)(4b - 3) = (4b - 3)^2$$.
• д) Разложим квадратный трехчлен $$6x^2 - x - 1$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$6x^2 - x - 1 = 0$$. Дискриминант $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25$$. Корни уравнения: $$x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$, $$x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 5}{12} = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}$$. Тогда $$6x^2 - x - 1 = 6(x - \frac{1}{2})(x + \frac{1}{3}) = (2x - 1)(3x + 1)$$.
• e) Разложим квадратный трехчлен $$3a^2 - 13a - 10$$ на множители. Для этого найдем корни уравнения $$3a^2 - 13a - 10 = 0$$. Дискриминант $$D = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 169 + 120 = 289$$. Корни уравнения: $$a_1 = \frac{13 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{13 + 17}{6} = \frac{30}{6} = 5$$, $$a_2 = \frac{13 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{13 - 17}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$$. Тогда $$3a^2 - 13a - 10 = 3(a - 5)(a + \frac{2}{3}) = (a - 5)(3a + 2)$$.

Ответ:

• a) $$(x - 7)(x + 6)$$
• б) $$(y + 3)(y + 6)$$
• в) $$(9x + 1)^2$$
• г) $$(4b - 3)^2$$
• д) $$(2x - 1)(3x + 1)$$
• e) $$(a - 5)(3a + 2)$$