617. Разложите на множители квадратный трёхчлен: a) 3x² - 24x + 21; б) 5z² + 10z - 15; в) 1/6 x² + 1/2 x + 1/3; г) х² - 12x + 20; д) -у² + 16у - 15; е) -t2 - 8t + 9; ж) 2х2 - 5x + 3; з) 5y² + 2y - 3; и) -2п² + 5 + 7.

a) Разложим квадратный трёхчлен $$3x^2 - 24x + 21$$ на множители.

1. Вынесем общий множитель 3 за скобки: $$3(x^2 - 8x + 7)$$.
2. Найдем корни квадратного трёхчлена $$x^2 - 8x + 7$$:

$$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 64 - 28 = 36$$ $$x_1 = \frac{8 + \sqrt{36}}{2} = \frac{8 + 6}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{8 - \sqrt{36}}{2} = \frac{8 - 6}{2} = 1$$

3. Разложим на множители: $$x^2 - 8x + 7 = (x - 7)(x - 1)$$.
4. Итоговое разложение: $$3(x - 7)(x - 1)$$.

Ответ: $$3(x-7)(x-1)$$

б) Разложим квадратный трёхчлен $$5z^2 + 10z - 15$$ на множители.

1. Вынесем общий множитель 5 за скобки: $$5(z^2 + 2z - 3)$$.
2. Найдем корни квадратного трёхчлена $$z^2 + 2z - 3$$:

$$D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$z_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$$ $$z_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$$

3. Разложим на множители: $$z^2 + 2z - 3 = (z - 1)(z + 3)$$.
4. Итоговое разложение: $$5(z - 1)(z + 3)$$.

Ответ: $$5(z-1)(z+3)$$

в) Разложим квадратный трёхчлен $$\frac{1}{6}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{3}$$ на множители.

1. Вынесем общий множитель $$\frac{1}{6}$$ за скобки: $$\frac{1}{6}(x^2 + 3x + 2)$$.
2. Найдем корни квадратного трёхчлена $$x^2 + 3x + 2$$:

$$D = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$$

3. Разложим на множители: $$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$.
4. Итоговое разложение: $$\frac{1}{6}(x + 1)(x + 2)$$.

Ответ: $$\frac{1}{6}(x+1)(x+2)$$

г) Разложим квадратный трёхчлен $$x^2 - 12x + 20$$ на множители.

1. Найдем корни квадратного трёхчлена $$x^2 - 12x + 20$$:

$$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 144 - 80 = 64$$ $$x_1 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2} = \frac{12 + 8}{2} = 10$$ $$x_2 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2} = \frac{12 - 8}{2} = 2$$

2. Разложим на множители: $$x^2 - 12x + 20 = (x - 10)(x - 2)$$.

Ответ: $$(x-10)(x-2)$$

д) Разложим квадратный трёхчлен $$-y^2 + 16y - 15$$ на множители.

1. Вынесем минус за скобки: $$-(y^2 - 16y + 15)$$.
2. Найдем корни квадратного трёхчлена $$y^2 - 16y + 15$$:

$$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 256 - 60 = 196$$ $$y_1 = \frac{16 + \sqrt{196}}{2} = \frac{16 + 14}{2} = 15$$ $$y_2 = \frac{16 - \sqrt{196}}{2} = \frac{16 - 14}{2} = 1$$

3. Разложим на множители: $$y^2 - 16y + 15 = (y - 15)(y - 1)$$.
4. Итоговое разложение: $$-(y - 15)(y - 1)$$.

Ответ: $$-(y-15)(y-1)$$

е) Разложим квадратный трёхчлен $$-t^2 - 8t + 9$$ на множители.

1. Вынесем минус за скобки: $$-(t^2 + 8t - 9)$$.
2. Найдем корни квадратного трёхчлена $$t^2 + 8t - 9$$:

$$D = (8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$$ $$t_1 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 + 10}{2} = 1$$ $$t_2 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{-8 - 10}{2} = -9$$

3. Разложим на множители: $$t^2 + 8t - 9 = (t - 1)(t + 9)$$.
4. Итоговое разложение: $$-(t - 1)(t + 9)$$.

Ответ: $$-(t-1)(t+9)$$

ж) Разложим квадратный трёхчлен $$2x^2 - 5x + 3$$ на множители.

1. Найдем корни квадратного трёхчлена $$2x^2 - 5x + 3$$:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{4} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{4} = \frac{5 - 1}{4} = 1$$

2. Разложим на множители: $$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - \frac{3}{2})(x - 1) = (2x - 3)(x - 1)$$.

Ответ: $$(2x-3)(x-1)$$

з) Разложим квадратный трёхчлен $$5y^2 + 2y - 3$$ на множители.

1. Найдем корни квадратного трёхчлена $$5y^2 + 2y - 3$$:

$$D = (2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$$ $$y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{3}{5}$$ $$y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{10} = \frac{-2 - 8}{10} = -1$$

2. Разложим на множители: $$5y^2 + 2y - 3 = 5(y - \frac{3}{5})(y + 1) = (5y - 3)(y + 1)$$.

Ответ: $$(5y-3)(y+1)$$

и) Разложим квадратный трёхчлен $$-2n^2 + 5n + 7$$ на множители.

1. Вынесем минус за скобки: $$-(2n^2 - 5n - 7)$$.
2. Найдем корни квадратного трёхчлена $$2n^2 - 5n - 7$$:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81$$ $$n_1 = \frac{5 + \sqrt{81}}{4} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{7}{2}$$ $$n_2 = \frac{5 - \sqrt{81}}{4} = \frac{5 - 9}{4} = -1$$

3. Разложим на множители: $$2n^2 - 5n - 7 = 2(n - \frac{7}{2})(n + 1) = (2n - 7)(n + 1)$$.
4. Итоговое разложение: $$-(2n - 7)(n + 1)$$.

Ответ: $$-(2n-7)(n+1)$$