Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Разложите на множители: 1) m³ + 125n³; 2) xy² - 16x³; 3)-5x² + 30x - 45; 4) 7xy - 42x + 14y - 84; 5) 10 000 - с⁴. 2. Упростите выражение b(b - 3)(b + 3) - (b-1)(b² + b + 1). 3. Разложите на множители: 1) 81c² - d² + 9c + d 2) a² + 8ab + 16b² - 1; 3) ax⁶ - 3x⁶ - ax³ + 3x³; 4) 25 - m² - 12mn - 36n². 4. Решите уравнение: 1) 3x³ - 108x = 0; 2) 121x³ - 22x² + x = 0; 3) x³ - 2x² - 9x + 18 = 0. 5. Упростите выражение (3x + x²)² - x²(x - 5) (x+5) + 2x(8-3x²).
Ответ:
Привет! Сейчас разберем это задание по алгебре. Будет много вычислений, но я уверена, что мы вместе со всем справимся!
1. Разложите на множители:
1) m³ + 125n³;
Это сумма кубов. Вспоминаем формулу: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²).
В нашем случае a = m, b = 5n.
Тогда:
m³ + 125n³ = (m + 5n)(m² - 5mn + 25n²).
2) xy² - 16x³;
Вынесем общий множитель x за скобки:
xy² - 16x³ = x(y² - 16x²).
В скобках разность квадратов: y² - 16x² = (y - 4x)(y + 4x).
Тогда:
xy² - 16x³ = x(y - 4x)(y + 4x).
3) -5x² + 30x - 45;
Вынесем -5 за скобки:
-5x² + 30x - 45 = -5(x² - 6x + 9).
В скобках полный квадрат: x² - 6x + 9 = (x - 3)².
Тогда:
-5x² + 30x - 45 = -5(x - 3)².
4) 7xy - 42x + 14y - 84;
Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители:
7xy - 42x + 14y - 84 = 7x(y - 6) + 14(y - 6) = (7x + 14)(y - 6).
Вынесем 7 за скобки в первом множителе:
(7x + 14)(y - 6) = 7(x + 2)(y - 6).
Тогда:
7xy - 42x + 14y - 84 = 7(x + 2)(y - 6).
5) 10 000 - c⁴;
Представим как разность квадратов:
10 000 - c⁴ = (100 - c²)(100 + c²).
Первый множитель снова разность квадратов:
100 - c² = (10 - c)(10 + c).
Тогда:
10 000 - c⁴ = (10 - c)(10 + c)(100 + c²).
2. Упростите выражение b(b - 3)(b + 3) - (b-1)(b² + b + 1).
Сначала раскроем скобки:
b(b - 3)(b + 3) = b(b² - 9) = b³ - 9b.
(b - 1)(b² + b + 1) = b³ - 1 (это разность кубов).
Тогда:
b(b - 3)(b + 3) - (b-1)(b² + b + 1) = b³ - 9b - (b³ - 1) = b³ - 9b - b³ + 1 = -9b + 1.
3. Разложите на множители:
1) 81c² - d² + 9c + d
Сгруппируем члены:
(81c² + 9c) + (-d² + d) = 9c(9c + 1) - d(d - 1) - это не помогает.
Попробуем сгруппировать иначе:
(81c² - d²) + (9c + d) = (9c - d)(9c + d) + (9c + d) = (9c + d)(9c - d + 1).
Тогда:
81c² - d² + 9c + d = (9c + d)(9c - d + 1).
2) a² + 8ab + 16b² - 1;
Выделим полный квадрат:
a² + 8ab + 16b² = (a + 4b)².
Тогда:
a² + 8ab + 16b² - 1 = (a + 4b)² - 1 = (a + 4b - 1)(a + 4b + 1).
3) ax⁶ - 3x⁶ - ax³ + 3x³;
Сгруппируем:
(ax⁶ - 3x⁶) + (-ax³ + 3x³) = x⁶(a - 3) - x³(a - 3) = (a - 3)(x⁶ - x³).
Вынесем x³ за скобки:
(a - 3)(x⁶ - x³) = (a - 3)x³(x³ - 1).
В скобках разность кубов:
x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1).
Тогда:
ax⁶ - 3x⁶ - ax³ + 3x³ = (a - 3)x³(x - 1)(x² + x + 1).
4) 25 - m² - 12mn - 36n².
Выделим полный квадрат с минусом:
25 - (m² + 12mn + 36n²) = 25 - (m + 6n)².
Разность квадратов:
25 - (m + 6n)² = (5 - (m + 6n))(5 + (m + 6n)) = (5 - m - 6n)(5 + m + 6n).
Тогда:
25 - m² - 12mn - 36n² = (5 - m - 6n)(5 + m + 6n).
4. Решите уравнение:
1) 3x³ - 108x = 0;
Вынесем общий множитель 3x за скобки:
3x(x² - 36) = 0.
Тогда либо 3x = 0, либо x² - 36 = 0.
Если 3x = 0, то x = 0.
Если x² - 36 = 0, то x² = 36, значит x = 6 или x = -6.
Ответ: x = 0, x = 6, x = -6.
2) 121x³ - 22x² + x = 0;
Вынесем общий множитель x за скобки:
x(121x² - 22x + 1) = 0.
Тогда либо x = 0, либо 121x² - 22x + 1 = 0.
Решим квадратное уравнение:
121x² - 22x + 1 = 0.
Дискриминант D = (-22)² - 4 * 121 * 1 = 484 - 484 = 0.
Тогда x = 22 / (2 * 121) = 22 / 242 = 1 / 11.
Ответ: x = 0, x = 1/11.
3) x³ - 2x² - 9x + 18 = 0.
Сгруппируем члены:
(x³ - 2x²) + (-9x + 18) = x²(x - 2) - 9(x - 2) = (x - 2)(x² - 9).
Тогда уравнение принимает вид:
(x - 2)(x² - 9) = 0.
Либо x - 2 = 0, либо x² - 9 = 0.
Если x - 2 = 0, то x = 2.
Если x² - 9 = 0, то x² = 9, значит x = 3 или x = -3.
Ответ: x = 2, x = 3, x = -3.
5. Упростите выражение (3x + x²)² - x²(x - 5) (x+5) + 2x(8-3x²).
Раскроем скобки:
(3x + x²)² = (3x)² + 2 * 3x * x² + (x²)² = 9x² + 6x³ + x⁴.
x²(x - 5)(x + 5) = x²(x² - 25) = x⁴ - 25x².
2x(8 - 3x²) = 16x - 6x³.
Тогда выражение принимает вид:
9x² + 6x³ + x⁴ - (x⁴ - 25x²) + 16x - 6x³ = 9x² + 6x³ + x⁴ - x⁴ + 25x² + 16x - 6x³ = 34x² + 16x.
Ответ: 34x² + 16x.
Все, мы справились! Я уверена, что ты сможешь решить все подобные задания. Главное - не бояться трудностей и верить в свои силы!
