1. Разложите на множители: -16x2 - 6x + 7 2. Сократите дробь: 3x+10/9x2+45x+50 3. Сократите дробь: (14x-4)(5x+3)/7x2+5x-2 4. Сократите дробь: 14x²+24x+10/21x2+29x+10 5. Сократите дробь: 81x2-64/45х2+67х+24

Решение задания 1

Давай разберем по порядку, как разложить на множители выражение \[ -16x^2 - 6x + 7 \].

Сначала вынесем минус за скобки: \[ -(16x^2 + 6x - 7) \].

Теперь попробуем разложить квадратный трехчлен \[ 16x^2 + 6x - 7 \]. Для этого найдем его корни через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-7) = 36 + 448 = 484 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 \]

Теперь найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 22}{2 \cdot 16} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 22}{2 \cdot 16} = \frac{-28}{32} = -\frac{7}{8} \]

Теперь мы можем записать квадратный трехчлен в виде произведения:

\[ 16x^2 + 6x - 7 = 16(x - \frac{1}{2})(x + \frac{7}{8}) = (2x - 1)(8x + 7) \]

Не забываем про минус, который мы вынесли в самом начале:

\[ -16x^2 - 6x + 7 = -(2x - 1)(8x + 7) = (1 - 2x)(8x + 7) \]

Ответ: \[ (1 - 2x)(8x + 7) \]

Решение задания 2

Давай сократим дробь \[ \frac{3x + 10}{9x^2 + 45x + 50} \].

Попробуем разложить знаменатель на множители. Для этого найдем корни квадратного трехчлена \[ 9x^2 + 45x + 50 \].

\[ D = b^2 - 4ac = 45^2 - 4 \cdot 9 \cdot 50 = 2025 - 1800 = 225 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{225} = 15 \]

Теперь найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-45 + 15}{2 \cdot 9} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-45 - 15}{2 \cdot 9} = \frac{-60}{18} = -\frac{10}{3} \]

Теперь мы можем записать квадратный трехчлен в виде произведения:

\[ 9x^2 + 45x + 50 = 9(x + \frac{5}{3})(x + \frac{10}{3}) = (3x + 5)(3x + 10) \]

Теперь сократим дробь:

\[ \frac{3x + 10}{9x^2 + 45x + 50} = \frac{3x + 10}{(3x + 5)(3x + 10)} = \frac{1}{3x + 5} \]

Ответ: \[ \frac{1}{3x + 5} \]

Решение задания 3

Сократим дробь \[ \frac{(14x - 4)(5x + 3)}{7x^2 + 5x - 2} \].

Разложим знаменатель на множители, найдя корни квадратного трехчлена \[ 7x^2 + 5x - 2 \].

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 25 + 56 = 81 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{81} = 9 \]

Теперь найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 7} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1 \]

Теперь мы можем записать квадратный трехчлен в виде произведения:

\[ 7x^2 + 5x - 2 = 7(x - \frac{2}{7})(x + 1) = (7x - 2)(x + 1) \]

Заметим, что \[ 14x - 4 = 2(7x - 2) \]. Тогда:

\[ \frac{(14x - 4)(5x + 3)}{7x^2 + 5x - 2} = \frac{2(7x - 2)(5x + 3)}{(7x - 2)(x + 1)} = \frac{2(5x + 3)}{x + 1} \]

Ответ: \[ \frac{2(5x + 3)}{x + 1} \]

Решение задания 4

Сократим дробь \[ \frac{14x^2 + 24x + 10}{21x^2 + 29x + 10} \].

Для начала упростим числитель и знаменатель, разложив каждый на множители.

Числитель: \[ 14x^2 + 24x + 10 = 2(7x^2 + 12x + 5) \]

Найдем корни квадратного трехчлена \[ 7x^2 + 12x + 5 \]:

\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 7 \cdot 5 = 144 - 140 = 4 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{4} = 2 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 2}{2 \cdot 7} = \frac{-10}{14} = -\frac{5}{7} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 2}{2 \cdot 7} = \frac{-14}{14} = -1 \]

Таким образом, \[ 7x^2 + 12x + 5 = 7(x + \frac{5}{7})(x + 1) = (7x + 5)(x + 1) \].

Знаменатель: \[ 21x^2 + 29x + 10 \]

Найдем корни квадратного трехчлена \[ 21x^2 + 29x + 10 \]:

\[ D = b^2 - 4ac = 29^2 - 4 \cdot 21 \cdot 10 = 841 - 840 = 1 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1} = 1 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 + 1}{2 \cdot 21} = \frac{-28}{42} = -\frac{2}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-29 - 1}{2 \cdot 21} = \frac{-30}{42} = -\frac{5}{7} \]

Таким образом, \[ 21x^2 + 29x + 10 = 21(x + \frac{2}{3})(x + \frac{5}{7}) = (3x + 2)(7x + 5) \].

Теперь сократим дробь:

\[ \frac{14x^2 + 24x + 10}{21x^2 + 29x + 10} = \frac{2(7x + 5)(x + 1)}{(3x + 2)(7x + 5)} = \frac{2(x + 1)}{3x + 2} \]

Ответ: \[ \frac{2(x + 1)}{3x + 2} \]

Решение задания 5

Сократим дробь \[ \frac{81x^2 - 64}{45x^2 + 67x + 24} \].

Числитель представляет собой разность квадратов: \[ 81x^2 - 64 = (9x - 8)(9x + 8) \].

Теперь разложим знаменатель на множители, найдя корни квадратного трехчлена \[ 45x^2 + 67x + 24 \].

\[ D = b^2 - 4ac = 67^2 - 4 \cdot 45 \cdot 24 = 4489 - 4320 = 169 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-67 + 13}{2 \cdot 45} = \frac{-54}{90} = -\frac{3}{5} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-67 - 13}{2 \cdot 45} = \frac{-80}{90} = -\frac{8}{9} \]

Теперь мы можем записать квадратный трехчлен в виде произведения:

\[ 45x^2 + 67x + 24 = 45(x + \frac{3}{5})(x + \frac{8}{9}) = (5x + 3)(9x + 8) \]

Теперь сократим дробь:

\[ \frac{81x^2 - 64}{45x^2 + 67x + 24} = \frac{(9x - 8)(9x + 8)}{(5x + 3)(9x + 8)} = \frac{9x - 8}{5x + 3} \]

Ответ: \[ \frac{9x - 8}{5x + 3} \]