4. Разложите на множители: a) 81a4-1; 6) у²-х²-6x-9. 5. Докажите, что выражение - а² + 4a-9 может принимать лишь отрицательные значения. Вариант 3 • 1. Упростите выражение: a) 2c (1+c)-(c-2) (c+4); б) (у+2)² - 2y (y+2); в) 30х+3(x-5)². • 2. Разложите на множители: а) 4а-а³; б) ах²+2ax+a. 3. Упростите выражение (b² + 2b)²-b² (b-1) (b + 1) + 2b (3-26²). 4. Разложите на множители: a) 16-81 у4; б) а+а²-b-b². 5. Докажите, что выражение с² - 2с +12 может принимать лишь положительные значения.

Ответ: Решения задач представлены ниже.

Вариант 3

Задание 1

a) Упростим выражение: 2c(1+c) - (c-2)(c+4)

• Раскроем скобки: 2c + 2c² - (c² + 4c - 2c - 8)
• Упростим выражение в скобках: 2c + 2c² - c² - 4c + 2c + 8
• Приведем подобные слагаемые: (2c² - c²) + (2c - 4c + 2c) + 8
• Получаем: c² + 8

б) Упростим выражение: (y+2)² - 2y(y+2)

• Раскроем скобки: y² + 4y + 4 - 2y² - 4y
• Приведем подобные слагаемые: (y² - 2y²) + (4y - 4y) + 4
• Получаем: -y² + 4

в) Упростим выражение: 30x + 3(x-5)²

• Раскроем скобки: 30x + 3(x² - 10x + 25)
• Раскроем скобки: 30x + 3x² - 30x + 75
• Приведем подобные слагаемые: 3x² + (30x - 30x) + 75
• Получаем: 3x² + 75

Задание 2

a) Разложим на множители: 4a - a³

• Вынесем общий множитель a за скобки: a(4 - a²)
• Разложим скобки по формуле разности квадратов: a(2 - a)(2 + a)

б) Разложим на множители: ax² + 2ax + a

• Вынесем общий множитель a за скобки: a(x² + 2x + 1)
• Разложим скобки по формуле квадрата суммы: a(x + 1)²

Задание 3

Упростим выражение: (b² + 2b)² - b²(b-1)(b+1) + 2b(3 - 2b²)

• Раскроем скобки: b⁴ + 4b³ + 4b² - b²(b² - 1) + 6b - 4b³
• Раскроем скобки: b⁴ + 4b³ + 4b² - b⁴ + b² + 6b - 4b³
• Приведем подобные слагаемые: (b⁴ - b⁴) + (4b³ - 4b³) + (4b² + b²) + 6b
• Получаем: 5b² + 6b

Задание 4

a) Разложим на множители: 16 - \(\frac{1}{81}\)y⁴

• Представим как разность квадратов: (4)² - (\(\frac{1}{9}\)y²)²
• Разложим по формуле разности квадратов: (4 - \(\frac{1}{9}\)y²)(4 + \(\frac{1}{9}\)y²)
• Представим первую скобку как разность квадратов: (2 - \(\frac{1}{3}\)y)(2 + \(\frac{1}{3}\)y)(4 + \(\frac{1}{9}\)y²)

б) Разложим на множители: a + a² - b - b²

• Сгруппируем: (a - b) + (a² - b²)
• Разложим скобки по формуле разности квадратов: (a - b) + (a - b)(a + b)
• Вынесем общий множитель (a - b) за скобки: (a - b)(1 + a + b)

Задание 5

Докажем, что выражение c² - 2c + 12 принимает лишь положительные значения.

• Выделим полный квадрат: c² - 2c + 1 + 11
• Запишем как квадрат разности: (c - 1)² + 11
• Так как (c - 1)² ≥ 0 для любого c, то (c - 1)² + 11 > 0
• Следовательно, выражение всегда положительное.

Вариант 4

Задание 4

a) Разложим на множители: 81a⁴ - 1

• Представим как разность квадратов: (9a²)² - 1²
• Разложим по формуле разности квадратов: (9a² - 1)(9a² + 1)
• Представим первую скобку как разность квадратов: (3a - 1)(3a + 1)(9a² + 1)

б) Разложим на множители: y² - x² - 6x - 9

• Сгруппируем: y² - (x² + 6x + 9)
• Представим как квадрат суммы: y² - (x + 3)²
• Разложим по формуле разности квадратов: (y - (x + 3))(y + (x + 3))
• Получаем: (y - x - 3)(y + x + 3)

Задание 5

Докажем, что выражение -a² + 4a - 9 принимает лишь отрицательные значения.

• Выделим полный квадрат: -(a² - 4a + 4) - 5
• Запишем как квадрат разности: -(a - 2)² - 5
• Так как -(a - 2)² ≤ 0 для любого a, то -(a - 2)² - 5 < 0
• Следовательно, выражение всегда отрицательное.

Ответ: Решения задач представлены выше.