4.61 Разложите на множители: А) -2x² + 5x - 3

Нам нужно разложить квадратный трехчлен $$-2x^2 + 5x - 3$$ на множители. Сначала найдем корни уравнения $$-2x^2 + 5x - 3 = 0$$. Для удобства умножим обе части уравнения на -1, чтобы избавиться от минуса перед $$x^2$$: $$2x^2 - 5x + 3 = 0$$ Теперь найдем дискриминант по формуле $$D = b^2 - 4ac$$, где $$a=2$$, $$b=-5$$, $$c=3$$. $$D = (-5)^2 - 4 cdot 2 cdot 3 = 25 - 24 = 1$$ Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня. Найдем их по формулам: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2 cdot 2} = \frac{5 + 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2 cdot 2} = \frac{5 - 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ Теперь мы знаем корни квадратного трехчлена: $$x_1 = \frac{3}{2}$$ и $$x_2 = 1$$. Чтобы разложить трехчлен на множители, используем формулу $$a(x - x_1)(x - x_2)$$, где $$a$$ — коэффициент при $$x^2$$ (в нашем случае $$a = -2$$). Итак, разложение на множители будет выглядеть так: $$-2(x - \frac{3}{2})(x - 1)$$ Можно упростить, умножив -2 на первую скобку: $$-2(x - \frac{3}{2}) = -2x + 3$$ Тогда окончательное разложение на множители: $$(-2x + 3)(x - 1)$$ Или можно записать как: $$(3 - 2x)(x - 1)$$ Ответ: (3 - 2x)(x - 1)