5. Разность корней квадратного уравнения х² - x-q = 0 равна 4. Найдите корни уравнения и значение q.

Решение:

Пусть x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения x² - x - q = 0. По условию, разность корней равна 4, то есть |x₁ - x₂| = 4.

Воспользуемся теоремой Виета, которая связывает корни квадратного уравнения с его коэффициентами:

• Сумма корней: x₁ + x₂ = -(-1)/1 = 1
• Произведение корней: x₁ \cdot x₂ = -q

Теперь у нас есть система уравнений:

• x₁ - x₂ = 4 (или x₂ - x₁ = 4)
• x₁ + x₂ = 1

Решим эту систему уравнений. Сложим первое уравнение со вторым:

(x₁ - x₂) + (x₁ + x₂) = 4 + 1

2x₁ = 5

x₁ = 2.5

Теперь найдем x₂:

x₂ = 1 - x₁ = 1 - 2.5 = -1.5

Корни уравнения найдены: x₁ = 2.5 и x₂ = -1.5.

Теперь найдем значение q, используя произведение корней:

x₁ \cdot x₂ = -q

2. 5 \cdot (-1.5) = -q

-3.75 = -q

q = 3.75

Таким образом, корни уравнения: x₁ = 2.5 и x₂ = -1.5, а значение q = 3.75.