Разность квадратов корней уравнения x^2 - 2x + q = 0 равна 16. Найдите q

Решение:

Пусть \( x_1 \) и \( x_2 \) — корни уравнения \( x^2 - 2x + q = 0 \). По теореме Виета:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = -\frac{-2}{1} = 2 \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{q}{1} = q \)

По условию задачи, разность квадратов корней равна 16:

• \( x_1^2 - x_2^2 = 16 \)

Мы можем разложить разность квадратов:

• \( (x_1 - x_2)(x_1 + x_2) = 16 \)

Подставим значение суммы корней \( x_1 + x_2 = 2 \):

• \( (x_1 - x_2) \cdot 2 = 16 \)
• \( x_1 - x_2 = \frac{16}{2} = 8 \)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( x_1 + x_2 = 2 \)
2. \( x_1 - x_2 = 8 \)

Сложим оба уравнения, чтобы найти \( x_1 \):

• \( (x_1 + x_2) + (x_1 - x_2) = 2 + 8 \)
• \( 2x_1 = 10 \)
• \( x_1 = 5 \)

Подставим значение \( x_1 = 5 \) в первое уравнение, чтобы найти \( x_2 \):

• \( 5 + x_2 = 2 \)
• \( x_2 = 2 - 5 = -3 \)

Теперь, когда мы знаем корни, мы можем найти \( q \), используя произведение корней:

• \( q = x_1 \cdot x_2 \)
• \( q = 5 \cdot (-3) \)
• \( q = -15 \)

Ответ: q = -15