Разность между шестым и четвертым членами геометрической прогрессии равна 72, а между третьим и пятым равна 9. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

Ответ:

\[b_{6} - b_{4} = 72;\ \ b_{3} - b_{5} = 9\]

\[b_{1}q^{5} - b_{1}q^{3} = 72\]

\[b_{1}\left( q^{5} - q^{3} \right) = 72.\]

\[b_{1}q^{2} - b_{1}q^{4} = 9\]

\[b_{1}\left( q^{2} - q^{4} \right) = 9.\]

\[\frac{b_{1}\left( q^{5} - q^{3} \right)}{b_{1}\left( q^{2} - q^{4} \right)} = \frac{72}{9}\]

\[\frac{q^{3}\left( q^{2} - 1 \right)}{- q^{2}\left( q^{2} - 1 \right)} = 8\]

\[- q = 8\]

\[q = - 8.\]

\[b_{1} = \frac{9}{64 - 4096}\]

\[b_{1} = \frac{9}{- 4032} = - \frac{1}{448}.\]

\[S_{8} = \frac{- \frac{1}{448} \cdot \left( ( - 8)^{8} - 1 \right)}{- 8 - 1} =\]

\[= \frac{16\ 777\ 215}{448 \cdot 9} = \frac{1864135}{448} =\]

\[= 4161,015625.\]