Разработать методическую рекомендацию или олимпиадную задачу или задание практического тура для выбранного этапа ВсОШ с авторским решением и критериями оценивания с частичными баллами.

Ниже представлены три готовых варианта олимпиадной задачи по математике для муниципального этапа ВсОШ, 7 класс. Каждый вариант включает условие, авторское решение и критерии оценивания с частичными баллами.

Вариант 1. Комбинаторика

Условие. Из чисел от 1 до 20 выбрали 8 различных чисел. Докажите, что среди них найдутся два числа, разность которых равна 1 или 2. Покажите, что число 8 нельзя заменить на 7.

Авторское решение.

1. Разобьём числа на группы: {1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}, {10, 11, 12}, {13, 14, 15}, {16, 17, 18}, {19, 20}.
2. В каждой группе любые два различных числа отличаются на 1 или 2. Поэтому, если в одной группе выбраны хотя бы два числа, утверждение доказано.
3. Предположим, что выбранные числа попарно отличаются не на 1 и не на 2. Тогда из каждой группы можно выбрать не более одного числа. Всего групп 7, значит, можно выбрать не более 7 чисел. Это противоречит тому, что выбрано 8 чисел.
4. Чтобы показать, что утверждение перестаёт быть верным для 7 чисел, достаточно взять 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19. Разность любых двух выбранных чисел не меньше 3.

Критерии оценивания — 6 баллов.

• Верно разбито множество чисел на 7 групп указанного типа — 2 балла.
• Указано, что в каждой группе можно выбрать не более одного числа, если среди выбранных нет пары с разностью 1 или 2 — 1 балл.
• Получено противоречие: при таком условии можно выбрать не более 7 чисел — 1 балл.
• Приведён пример из 7 чисел — 1 балл.
• Объяснено, почему в примере разность любых двух чисел не меньше 3 — 1 балл.

Вариант 2. Теория чисел

Условие. Из чисел от 1 до 10 выбрали 6 различных чисел. Докажите, что среди выбранных найдутся два числа, сумма которых равна 11.

Авторское решение.

1. Разобьём числа на пять пар: (1, 10), (2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6). Сумма чисел в каждой паре равна 11.
2. Если бы из каждой пары было выбрано не более одного числа, всего можно было бы выбрать не более пяти чисел.
3. Но выбрано шесть чисел. Значит, хотя бы из одной пары выбраны оба числа, а их сумма равна 11.

Критерии оценивания — 5 баллов.

• Верно составлены пять пар чисел с суммой 11 — 2 балла.
• Объяснено, что при выборе не более одного числа из каждой пары получится не более пяти чисел — 1 балл.
• Применено рассуждение о невозможности выбрать шесть чисел без полной пары — 1 балл.
• Сформулирован требуемый вывод о сумме 11 — 1 балл.

Вариант 3. Алгебра и задачи на цифры

Условие. Двузначное число равно четырёхкратной сумме своих цифр, увеличенной на 3. Найдите все такие числа.

Авторское решение.

1. Обозначим цифру десятков через a, а цифру единиц — через b. Тогда число равно 10a + b, где 1 ≤ a ≤ 9 и 0 ≤ b ≤ 9.
2. По условию 10a + b = 4(a + b) + 3.
3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: 10a + b = 4a + 4b + 3, откуда 6a − 3b = 3 и b = 2a − 1.
4. Поскольку b — цифра, должно выполняться 0 ≤ 2a − 1 ≤ 9. Вместе с условием a ≥ 1 это даёт a = 1, 2, 3, 4 или 5.
5. Подставляя эти значения, получаем числа 11, 23, 35, 47 и 59.
6. Проверка: для каждого числа его значение равно четырёхкратной сумме цифр плюс 3. Например, 35 = 4 · (3 + 5) + 3.

Критерии оценивания — 7 баллов.

• Введены обозначения цифр и записаны ограничения на них — 1 балл.
• Уравнение составлено правильно — 2 балла.
• Уравнение преобразовано к соотношению b = 2a − 1 — 1 балл.
• Правильно учтено, что b — цифра, и найдены допустимые значения a — 1 балл.
• Перечислены все пять чисел — 1 балл.
• Проведена проверка и сделан вывод, что других решений нет — 1 балл.

При оценивании каждого варианта допускается любой правильный способ решения. Частичные баллы выставляются за верные содержательные шаги, даже если решение не доведено до конца.