Разверните ответ. Решите уравнение $$\frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}} = 0$$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [\(\frac{7\pi}{2}\); \(5\pi\)].

Решение:

1. Уравнение имеет вид \( \frac{9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}} = 0 \).
2. Для существования корней необходимо, чтобы \( \sin x > 0 \).
3. Числитель должен быть равен нулю: \( 9^{\sin 2x} - 3^{2\sqrt{2}\sin x} = 0 \).
4. Перепишем уравнение: \( 9^{\sin 2x} = 3^{2\sqrt{2}\sin x} \).
5. Приведем основания к одному: \( (3^2)^{\sin 2x} = 3^{2\sqrt{2}\sin x} \), что дает \( 3^{2\sin 2x} = 3^{2\sqrt{2}\sin x} \).
6. Приравниваем показатели степени: \( 2\sin 2x = 2\sqrt{2}\sin x \).
7. Разложим \( \sin 2x \) по формуле двойного угла: \( 2(2\sin x \cos x) = 2\sqrt{2}\sin x \).
8. Упростим: \( 4\sin x \cos x = 2\sqrt{2}\sin x \).
9. Перенесем все в одну сторону: \( 4\sin x \cos x - 2\sqrt{2}\sin x = 0 \).
10. Вынесем общий множитель \( 2\sin x \): \( 2\sin x (2\cos x - \sqrt{2}) = 0 \).
11. Отсюда получаем два случая: \( \sin x = 0 \) или \( 2\cos x - \sqrt{2} = 0 \).
12. Случай \( \sin x = 0 \) не удовлетворяет условию \( \sin x > 0 \), поэтому он исключается.
13. Рассмотрим второй случай: \( 2\cos x = \sqrt{2} \), что дает \( \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
14. Основные решения этого уравнения: \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.
15. Проверим условие \( \sin x > 0 \). Для \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \) имеем \( \sin (\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} > 0 \). Это решение подходит.
16. Для \( x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \) имеем \( \sin (-\frac{\pi}{4} + 2\pi k) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0 \). Это решение не подходит.
17. Таким образом, решения уравнения имеют вид \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \).
18. Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку [\(\frac{7\pi}{2}\); \(5\pi\)].
19. Подставим \( k \) и проверим:
• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{4} \) (вне отрезка).
• При \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4} \) (вне отрезка).
• При \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4} \). Проверим, принадлежит ли этот корень отрезку: \( \frac{7\pi}{2} = \frac{14\pi}{4} \) и \( 5\pi = \frac{20\pi}{4} \). Так как \( \frac{14\pi}{4} \le \frac{17\pi}{4} \le \frac{20\pi}{4} \), то \( x = \frac{17\pi}{4} \) принадлежит отрезку.
• При \( k = 3 \): \( x = \frac{\pi}{4} + 6\pi = \frac{25\pi}{4} \) (вне отрезка).

Ответ: \( \frac{17\pi}{4} \).