Разверните выражение: \( 4\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{27} \cdot \sqrt{15} \)

Решение:

Для развертывания выражения воспользуемся свойствами корней и умножения:

1. Сначала перемножим числовые множители: \( 4 \cdot 3 = 12 \).
2. Затем перемножим корни, объединив их под одним знаком корня: \[ \sqrt{5} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt{15} = \sqrt{5 \cdot 27 \cdot 15} \]
3. Выполним умножение под корнем: \( 5 \cdot 27 \cdot 15 = 5 \cdot (3^3) \cdot (3 \cdot 5) = 5^2 \cdot 3^4 \)
4. Извлечем корни из полученных степеней: \[ \sqrt{5^2 \cdot 3^4} = \sqrt{5^2} \cdot \sqrt{3^4} = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45 \]
5. Теперь объединим числовой множитель и результат извлечения корня: \( 12 \cdot 45 \)
6. Выполним окончательное умножение: \( 12 \cdot 45 = 540 \)

Ответ: 540.