14 Ребро АВ основания ABCD правильной призмы ABCDABCD₁ равно 2√6, а высота АА₁ равна 2√5. На рёбрах АВ и С₁D₁ отметили точки N и K соответственно так, что N – середина ребра, а СК: KD₁ = 2:1. Через точки N и K параллельно прямой BD провели плоскость а. а) Докажите, что прямая СА₁ перпендикулярна плоскости а. б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке С и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью а.

a) Докажем, что прямая CA₁ перпендикулярна плоскости α.

Пусть ABCD - квадрат, так как призма правильная. N - середина AB, K лежит на C₁D₁, CK:KD₁ = 2:1.

Проведём NK || BD, NK лежит в плоскости α.

Так как ABCD - квадрат, AC ⊥ BD.

Рассмотрим призму AA₁C₁C. AA₁ ⊥ AC (так как AA₁ - высота), AA₁ ⊥ BD, так как BD || AC.

Значит, AA₁ ⊥ NK, так как NK || BD.

AC ⊥ NK, так как AC ⊥ BD.

CA₁² = AA₁² + AC²

AC = AB√2 = 2√6 * √2 = 2√12 = 4√3

AA₁ = 2√5

CA₁² = (2√5)² + (4√3)² = 20 + 48 = 68

CA₁ = √68

Рассмотрим треугольник CA₁N. AN = 1/2 AB = √6

CN² = AC² + AN² = (4√3)² + (√6)² = 48 + 6 = 54

CN = √54

A₁N² = AA₁² + AN² = (2√5)² + (√6)² = 20 + 6 = 26

A₁N = √26

cos∠CAN = (AC² + AN² - CN²)/(2*AC*AN)

cos∠CAN = (48 + 6 - 54)/(2*4√3*√6) = 0

Значит, ∠CAN = 90°, AC ⊥ CN.

A₁C₁ ⊥ BD, так как ABCD - квадрат.

A₁C₁ ⊥ NK, так как NK || BD.

CC₁ ⊥ NK, так как CC₁ - высота.

Следовательно, NK ⊥ (AA₁C₁C).

CA₁ лежит в (AA₁C₁C), значит, NK ⊥ CA₁.

NK ⊥ CA₁, CN ⊥ CA₁.

Следовательно, CA₁ ⊥ α.

б) Найдём объём пирамиды с вершиной в точке C и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью α.

Так как NK || BD, то сечение - параллелограмм.

Пусть L - точка пересечения NK и BC, M - точка пересечения NK и AD.

CL = (1/2) BC = (1/2) * 2√6 = √6

DK = (1/3) C₁D₁ = (1/3) * 2√6 = (2√6)/3

Площадь параллелограмма = NK * h, где h - высота параллелограмма.

NK = BD = 2√6 * √2 = 2√12 = 4√3

Высота параллелограмма = LM = √(BL² + BM²)

BM = BC = 2√6

BL = (1/2) BC = √6

LM = √((√6)² + (2√6)²) = √(6 + 24) = √30

Площадь параллелограмма = 4√3 * √30 = 4√(90) = 12√10

Объём пирамиды = (1/3) * S * h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Высота пирамиды = CC₁ = 2√5

Объём пирамиды = (1/3) * 12√10 * 2√5 = 8√(50) = 8 * 5√2 = 40√2

Ответ: 40√2