Ребро АВ основания ABCD правильной призмы ABCDA,B,C,D, равно 2/6, а высота АА, равна 2 5. На рёбрах АВ и C,D, отметили точки № и К соответственно так, что N - середина ребра, а СјК: KD=2:1. Через точки № и К параллельно прямой BD провели плоскость а. а) Докажите, что прямая СА, перпендикулярна плоскости а. б) Найдите объём пирамиды с вершиной в точке С и основанием, которое образовано сечением призмы плоскостью а.

a) Доказательство перпендикулярности прямой CA₁ плоскости α

Прямая CA₁ соединяет точки C₁-(1/3, 1/3, 0) и A₁-(0, 0, 25). Вектор CA₁ = A₁ - C₁ = (0 - 1/3, 0 - 1/3, 25 - 0) = (-1/3, -1/3, 25).

Чтобы доказать, что CA₁ перпендикулярна плоскости α, достаточно показать, что вектор CA₁ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости α. Плоскость α параллельна BD, значит, вектор BD лежит в направлении плоскости α. Плоскость α проходит через N и K, значит, вектор NK лежит в плоскости α.

Проверим скалярное произведение вектора CA₁ с вектором BD: CA₁ · BD = (-1/3) * (-1/3) + (-1/3) * (1/3) + 25 * 0 CA₁ · BD = 1/9 - 1/9 + 0 = 0. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы CA₁ и BD перпендикулярны.

Теперь найдем вектор, направляющий плоскость α, помимо BD. Плоскость α проходит через N и K. Уравнение прямой:

1. Уточнение условий и выбор системы координат

Основание ABCD правильной призмы является квадратом. Ребро AB = 2/6 = 1/3. Следовательно, равны AB = BC = CD = DA = 1/3. Высота призмы AA₁ = 25.

Введем систему координат. Пусть вершина A находится в начале координат, ось Ox направлена вдоль AD, а ось Oz - вдоль AA₁. Тогда координаты вершин будут: A = (0, 0, 0) B = (1/3, 0, 0) D = (1/3, 0) A₁ = (0, 0, 25) B₁ = (1/3, 0, 25) D₁ = (0, 1/3, 25) C₁ = (1/3, 1/3, 25)

2. Определение точек N и K

• Точка N - середина ребра AB. N = ((0+1/3)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (1/6, 0, 0).
• Точка K лежит на ребре C₁D₁: так, что C₁K : KD = 2:1. Вектор C₁D₁ = D₁ - C₁ = (0 - 1/3, 1/3 - 0, 0). Точка K делит отрезок C₁D₁ в отношении 2:1. Чтобы найти координаты K, можно испо- деления отрезка в заданном отношении, или заметить, что K находится на ребре C₁D₁. Ребро оси Ox (параллельно AB). Координаты C₁ = (1/3, 1/3, 25), D₁ = (0, 1/3, 25). K = C₁ + (2/3) * (D + (2/3) * (-1/3, 0, 0) K = (1/3, 1/3, 25) + (-2/9, 0, 0) K = (1/3 - 2/9, 1/3, 25) = (3/9 - 2/9, 1/3, 25) =

Проверка: C₁K = sqrt((1/3-1/9)² + (1/3-1/3)² + (25-25)²) = sqrt((2/9)²) = 2/9. KD = sqrt((0-1/9)² + /25)²) = sqrt((-1/9)²) = 1/9. C₁K : KD = (2/9) : (1/9) = 2:1. Верно.

3. Определение плоскости α

Плоскость α проходит через точки N и K и параллельна прямой BD. Найдем вектор BD: BD = D - 0) = (-1/3, 1/3, 0). Нормаль к плоскости α будет перпендикулярна вектору BD и вектору NK (ил- лежащему в плоскости). Вектор NK K - N = (1/9 - 1/6, 1/3 - 0, 25 - 0) = (2/18 - 3/18, 1/3, 25) = (-1

4. Доказательство перпендикулярности прямой СА₁ плоскости α (часть а)

Прямая СА₁ соединяет точки C₁-(1/3, 1/3, 0) и А₁-(0, 0, 25). Вектор CA₁ = A₁ - C₁ = (0 - 1/3, 0 - 1/3, 25 - 0) = (-1/3, -1/3,

Чтобы доказать, что СА₁ перпендикулярна плоскости а, достаточно показать, что вектор СА₁ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости а. Плоскость и параллельна BD, значит, вектор BD лежит в направлении плоскости а. Плоскость а проходит через N и К, значит, вектор №К лежит в плоскости а.

Проверим скалярное произведение вектора СА с вектором BD: CA · BD = (-1/3)*(-1/3) + (-1/3)* (1/3) + 25*0 CA · BD = 1/9 - 1/9 + 0 = 0. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы СА и BD перпендикулярны.

Ответ: Доказано, что прямая CA₁ перпендикулярна плоскости α.