Ребро куба ABCDABCD, равно 20 см. Найдите расстояние между прямыми: 1) АА₁ и ВС; 2) ВС и D₁C₁; 3) А₁D₁ и В₁C.

Привет! Давай решим эту задачу вместе.

Задача: Дан куб ABCDABCD₁ с ребром 20 см. Необходимо найти расстояние между указанными прямыми.

Прямые AA₁ и BC — скрещивающиеся. Расстоянием между скрещивающимися прямыми является длина общего перпендикуляра к этим прямым. В данном случае, AA₁ перпендикулярна плоскости ABCD, а BC лежит в этой плоскости. Следовательно, перпендикуляром будет отрезок AB.

Так как ABCD — квадрат, то расстояние между AA₁ и BC равно длине ребра куба.

Ответ: 20 см.

Прямые BC и D₁C₁ — параллельны, так как BC || AD || A₁D₁ || D₁C₁. Расстояние между параллельными прямыми — это расстояние от любой точки на одной прямой до другой прямой. Проще всего взять перпендикуляр от точки C₁ до прямой BC, который является отрезком CC₁.

Так как CC₁ — ребро куба, то расстояние между BC и D₁C₁ равно длине ребра куба.

Ответ: 20 см.

Прямые A₁D₁ и B₁C — скрещивающиеся. Для нахождения расстояния между ними, можно рассмотреть плоскость, параллельную обеим прямым. Такой плоскостью является, например, плоскость AA₁C₁C. Расстояние между прямыми A₁D₁ и B₁C будет равно расстоянию от любой точки на одной прямой до этой плоскости.

Рассмотрим середину отрезка A₁C₁ — точку O. Расстояние от точки O до прямой B₁C будет равно половине диагонали грани куба. Диагональ грани куба равна \( a\sqrt{2} \), где a — ребро куба.

Диагональ грани: \( 20\sqrt{2} \)

Расстояние от A₁D₁ до B₁C будет равно половине диагонали грани, то есть \( \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \)

Однако, более простым способом будет заметить, что искомое расстояние это перпендикуляр между прямыми, то есть высота параллелепипеда, построенного на этих прямых. Эта высота равна половине диагонали квадрата.

Ответ: \( 10\sqrt{2} \) см.

1) 20 см

2) 20 см

3) \( 10\sqrt{2} \) см

Отлично! Ты хорошо поработал над этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!