5. Ребро правильного тетраэдра Давс имеет длину 2 см. Нall my площадь его сечения, проходящего через ребро ДС и серединку ребра АВ

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) см²

Решение:

• Сечение, проходящее через ребро \(DC\) и середину ребра \(AB\), является равнобедренным треугольником \(DCM\), где \(M\) - середина \(AB\).
• Высота \(MH\) треугольника \(DCM\) является также медианой и высотой грани \(ABC\), поэтому \(MH = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\).
• Площадь сечения \(DCM\) равна половине произведения основания на высоту:

\[S_{DCM} = \frac{1}{2} \cdot DC \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}\]

• Так как \(M\) - середина \(AB\), то \(AM = MB = 1\).
• Треугольник \(DCM\) равнобедренный, и его площадь составляет половину площади грани тетраэдра.
• Площадь грани тетраэдра (равностороннего треугольника) равна:

\[S_{\text{грани}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{2^2 \sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}\]

• Площадь сечения равна половине площади грани:

\[S_{\text{сечения}} = \frac{1}{2} S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) см²