Ребро правильного тетраэдра равно 1 см. Найдите радиус сферы, которая касается всех ребер.

Шаг 1: Найдем высоту тетраэдра.

Высота \(h\) правильного тетраэдра со стороной \(a\) равна \(h = a\sqrt{\frac{2}{3}}\) . В нашем случае \(a = 1\) см, поэтому:

\[h = 1 \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\) см\]

Шаг 2: Найдем радиус сферы.

Радиус \(R\) сферы, касающейся всех ребер тетраэдра, равен \(R = \frac{\sqrt{4a^2 - h^2}}{2\sqrt{2}}\) , где \(a\) - ребро тетраэдра, \(h\) - его высота. Подставим значения:

\[R = \frac{\sqrt{4 \cdot 1^2 - (\frac{\sqrt{6}}{3})^2}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{4 - \frac{6}{9}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\frac{30}{9}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\frac{10}{3}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{15}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{4}\) см\]