Решаем задачи из РТ в парах 49 Из точки М к плоскости с проведены перпендикуляр МО и две наклонные МА и МВ, которые образуют со своими про- екциями на эту плоскость / МАО = 45°, МВО - 30°, угол между наклонными равен 90°. Найдите расстояние между основани- ями наклонных, если проекция наклон- ной МА равна 13 см.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник MOA. Он прямоугольный, так как MO - перпендикуляр к плоскости α. Угол MAO = 45° (дано). Следовательно, угол MOA = 90° - 45° = 45°. Таким образом, треугольник MOA равнобедренный, и MO = AO = √3 см.

2. Рассмотрим треугольник MOB. Он прямоугольный, так как MO - перпендикуляр к плоскости α. Угол MBO = 30° (дано). В прямоугольном треугольнике MOB катет MO, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы MB. Следовательно, MB = 2 * MO = 2 * √3 см.

3. Найдем OB по теореме Пифагора из треугольника MOB: $$OB = \sqrt{MB^2 - MO^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{12 - 3} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}$$.

4. Рассмотрим треугольник AOB. Угол AOB = 90° (угол между наклонными). Найдем AB по теореме Пифагора:

$$AB = \sqrt{AO^2 + OB^2} = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}$$.

Ответ: $$2\sqrt{3}$$ см.