Решение и ответ к заданию №9.2

Question

Вопрос:

Решение и ответ к заданию №9.2

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Дано:

Всего конфет: 24 шт. (7 апельсиновых, 6 клубничных, 6 лимонных, 5 вишнёвых).
Конфеты разложены в 8 пакетиков.
В пакетиках одинаковое количество конфет.
Ни в одном пакетике нет двух одинаковых конфет.

Найти: Сколько получилось пакетиков, в которых есть и апельсинная, и клубничная, и лимонная конфета.

Решение:

Конфет в каждом пакетике: Если 24 конфеты разложены в 8 пакетиков поровну, то в каждом пакетике будет: 24 / 8 = 3 конфеты.
Условие: ни в одном пакетике нет двух одинаковых конфет. Это означает, что в каждом пакетике могут быть только разные виды конфет.
Состав пакетиков: Так как в каждом пакетике 3 конфеты, и они все должны быть разными, возможные комбинации из 3-х разных видов конфет:

Апельсиновая + Клубничная + Лимонная
Апельсиновая + Клубничная + Вишнёвая
Апельсиновая + Лимонная + Вишнёвая
Клубничная + Лимонная + Вишнёвая

Распределение конфет: Нам нужно распределить 7 апельсиновых, 6 клубничных, 6 лимонных и 5 вишнёвых конфет по 8 пакетикам так, чтобы в каждом было по 3 разные конфеты.
Подсчёт пакетиков с апельсиновой, клубничной и лимонной конфетой:

Всего у нас 7 апельсиновых, 6 клубничных и 6 лимонных конфет.
Если мы будем формировать пакетики типа «Апельсиновая + Клубничная + Лимонная», то мы сможем сделать максимум 6 таких пакетиков (по количеству клубничных или лимонных конфет, которых меньше всего).

Проверка:

Пусть у нас будет 6 пакетиков типа (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 6 апельсиновых, 6 клубничных, 6 лимонных.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Оставшиеся конфеты: 1 апельсиновая и 5 вишнёвых.
Нам нужно сделать ещё 8 - 6 = 2 пакетика.
Эти 2 пакетика должны содержать по 3 конфеты, и конфеты должны быть разными.
У нас остались только апельсиновые и вишнёвые конфеты. Мы не можем составить из них 2 пакетика по 3 разные конфеты, так как у нас всего 2 вида конфет, а нужно 3.

Пересмотр комбинаций: Давайте попробуем использовать вишнёвые конфеты.

Всего 5 вишнёвых конфет. Значит, максимум 5 пакетиков могут содержать вишнёвую конфету.
Если мы сделаем 5 пакетиков типа (Апельсин + Клубника + Вишня), то:

Использовано: 5 апельсиновых, 5 клубничных, 5 вишнёвых.
Осталось: 2 апельсиновых, 1 клубничная, 6 лимонных.
Нужно сделать ещё 8 - 5 = 3 пакетика.
Эти 3 пакетика должны содержать по 3 разные конфеты.
Из оставшихся (2 апельсиновых, 1 клубничная, 6 лимонных), мы можем сделать:

1 пакетик: (Апельсин + Клубника + Лимон) - использовано 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 5 лимонных.
Нужно сделать ещё 3 - 1 = 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 лимонных), мы можем сделать максимум 1 пакетик: (Апельсин + Лимон). Но нам нужно 3 конфеты в пакетике!

Переходим к другому подходу: Мы знаем, что в каждом пакетике 3 разных конфеты. Посчитаем, сколько пакетиков могут содержать комбинацию (Апельсиновая + Клубничная + Лимонная).

Апельсиновых: 7
Клубничных: 6
Лимонных: 6
Максимальное количество пакетиков, которые могут содержать все три этих вида конфет, ограничено наименьшим количеством одного из видов, то есть 6 (по клубничным или лимонным).

Ответ: Если у нас 6 пакетиков содержат апельсиновую, клубничную и лимонную конфеты, то мы использовали 6 апельсиновых, 6 клубничных и 6 лимонных конфет.

Осталось: 7 - 6 = 1 апельсиновая, 6 - 6 = 0 клубничных, 6 - 6 = 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Всего мы сделали 6 пакетиков. Нам нужно сделать 8 пакетиков.
Оставшиеся конфеты: 1 апельсиновая и 5 вишнёвых.
Мы не можем из них сделать еще 2 пакетика по 3 разные конфеты.

Значит, нужно пересмотреть условие: «Ни в одном пакетике нет двух одинаковых конфет». Это значит, что в пакетике могут быть максимум по 1 конфете каждого вида.
Проверим, сколько пакетиков могут содержать комбинацию (Апельсиновая + Клубничная + Лимонная):

Мы можем сделать максимум 6 таких пакетиков, так как у нас всего 6 клубничных и 6 лимонных конфет.
Пусть мы сделали 6 таких пакетиков.
Использовано: 6 апельсиновых, 6 клубничных, 6 лимонных.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нам нужно сделать ещё 2 пакетика, в каждом по 3 конфеты.
Оставшиеся конфеты: 1 апельсиновая и 5 вишнёвых.
Из них мы можем сформировать только 1 пакет: (Апельсиновая + Вишнёвая). Но в пакетике должно быть 3 конфеты, а разные виды.

Давайте посчитаем, сколько пакетиков могут содержать комбинацию (Апельсиновая + Клубничная + Вишнёвая):

Максимум 5 таких пакетиков (по количеству вишнёвых).
Использовано: 5 апельсиновых, 5 клубничных, 5 вишнёвых.
Осталось: 2 апельсиновых, 1 клубничная, 6 лимонных.
Нужно сделать ещё 3 пакетика.
Из оставшихся: 2 апельсиновых, 1 клубничная, 6 лимонных.

Можно сделать 1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 5 лимонных.
Нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 лимонных), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Лимон). Но нам нужно 3 конфеты в пакетике!

Посчитаем, сколько пакетиков могут содержать комбинацию (Апельсиновая + Лимонная + Вишнёвая):

Максимум 5 таких пакетиков (по количеству вишнёвых).
Использовано: 5 апельсиновых, 5 лимонных, 5 вишнёвых.
Осталось: 2 апельсиновых, 6 клубничных, 1 лимонная.
Нужно сделать ещё 3 пакетика.
Из оставшихся: 2 апельсиновых, 6 клубничных, 1 лимонная.

Можно сделать 1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная.
Осталось: 1 апельсиновая, 5 клубничных, 0 лимонных.
Нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 клубничных), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Клубника). Но нам нужно 3 конфеты в пакетике!

Посчитаем, сколько пакетиков могут содержать комбинацию (Клубничная + Лимонная + Вишнёвая):

Максимум 5 таких пакетиков (по количеству вишнёвых).
Использовано: 5 клубничных, 5 лимонных, 5 вишнёвых.
Осталось: 7 апельсиновых, 1 клубничная, 1 лимонная.
Нужно сделать ещё 3 пакетика.
Из оставшихся: 7 апельсиновых, 1 клубничная, 1 лимонная.

Можно сделать 1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная.
Осталось: 6 апельсиновых, 0 клубничных, 0 лимонных.
Нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся (6 апельсиновых), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин). Но нам нужно 3 конфеты в пакетике!

Проверим, сколько пакетиков с комбинацией (Апельсин + Клубника + Лимон).

Мы можем сделать 6 таких пакетиков.
Использовано: 6 апельсиновых, 6 клубничных, 6 лимонных.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нам нужно сделать ещё 2 пакетика.
Мы не можем составить из оставшихся 2 пакетика по 3 разные конфеты.

Посмотрим на наименьшее количество конфет - вишнёвых (5 шт.).
Это значит, что максимум 5 пакетиков могут содержать вишнёвую конфету.
Рассмотрим количество пакетиков, в которых есть и апельсинная, и клубничная, и лимонная конфета.
Обозначим количество таких пакетиков как 'x'.
В этих 'x' пакетиках используется 'x' апельсиновых, 'x' клубничных и 'x' лимонных конфет.
Максимальное значение 'x' ограничено наименьшим количеством конфет из этих трёх видов, то есть 6 (клубничных или лимонных).
Пусть x = 5.

5 пакетиков (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 5 апельсиновых, 5 клубничных, 5 лимонных.
Осталось: 2 апельсиновых, 1 клубничная, 1 лимонная, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 8 - 5 = 3 пакетика.
Каждый из этих 3 пакетиков должен содержать 3 разных конфеты.
Из оставшихся (2 апельсиновых, 1 клубничная, 1 лимонная, 5 вишнёвых), мы можем составить:

1 пакетик: (Апельсин + Клубника + Лимон) - использовано 1а, 1к, 1л.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 вишнёвых), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Вишня). Но нам нужно 3 конфеты!

Попробуем x = 4

4 пакетика (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 4 апельсиновых, 4 клубничных, 4 лимонных.
Осталось: 3 апельсиновых, 2 клубничных, 2 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 8 - 4 = 4 пакетика.
Каждый из этих 4 пакетиков должен содержать 3 разных конфеты.
Из оставшихся (3 апельсиновых, 2 клубничных, 2 лимонных, 5 вишнёвых), мы можем составить:

2 пакетика: (Апельсин + Клубника + Лимон) - использовано 2а, 2к, 2л.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 4 - 2 = 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 вишнёвых), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Вишня). Но нам нужно 3 конфеты!

Попробуем x = 3

3 пакетика (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 3 апельсиновых, 3 клубничных, 3 лимонных.
Осталось: 4 апельсиновых, 3 клубничных, 3 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 8 - 3 = 5 пакетиков.
Каждый из этих 5 пакетиков должен содержать 3 разных конфеты.
Из оставшихся (4 апельсиновых, 3 клубничных, 3 лимонных, 5 вишнёвых).

Можем сделать 3 пакетика: (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 3а, 3к, 3л.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 5 - 3 = 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 вишнёвых), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Вишня). Но нам нужно 3 конфеты!

Попробуем x = 2

2 пакетика (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 2 апельсиновых, 2 клубничных, 2 лимонных.
Осталось: 5 апельсиновых, 4 клубничных, 4 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 8 - 2 = 6 пакетиков.
Каждый из этих 6 пакетиков должен содержать 3 разных конфеты.
Из оставшихся (5 апельсиновых, 4 клубничных, 4 лимонных, 5 вишнёвых).

Можно сделать 4 пакетика (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 4а, 4к, 4л.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 6 - 4 = 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 вишнёвых), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Вишня). Но нам нужно 3 конфеты!

Попробуем x = 1

1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1 апельсиновая, 1 клубничная, 1 лимонная.
Осталось: 6 апельсиновых, 5 клубничных, 5 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 8 - 1 = 7 пакетиков.
Каждый из этих 7 пакетиков должен содержать 3 разных конфеты.
Из оставшихся (6 апельсиновых, 5 клубничных, 5 лимонных, 5 вишнёвых).

Можно сделать 5 пакетиков (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 5а, 5к, 5л.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 7 - 5 = 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 вишнёвых), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Вишня). Но нам нужно 3 конфеты!

Попробуем x = 0

0 пакетиков (Апельсин + Клубника + Лимон).
Осталось: 7 апельсиновых, 6 клубничных, 6 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать 8 пакетиков, в каждом по 3 разные конфеты.

Можно сделать 5 пакетиков (Апельсин + Клубника + Вишня).
Использовано: 5а, 5к, 5в.
Осталось: 2 апельсиновых, 1 клубничная, 6 лимонных, 0 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 8 - 5 = 3 пакетика.
Из оставшихся (2 апельсиновых, 1 клубничная, 6 лимонных).

Можно сделать 1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1а, 1к, 1л.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 5 лимонных.
Нужно сделать ещё 3 - 1 = 2 пакетика.
Из оставшихся (1 апельсиновая, 5 лимонных), мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Лимон). Но нам нужно 3 конфеты!

Итак, нам нужно найти такое количество пакетиков 'x', содержащих (Апельсин + Клубника + Лимон), чтобы оставшиеся конфеты могли быть распределены в оставшиеся пакетики по 3 разные конфеты.
Всего конфет: 24. В каждом пакетике: 3. Всего пакетиков: 8.
Количество апельсиновых: 7. Количество клубничных: 6. Количество лимонных: 6. Количество вишнёвых: 5.
Пусть k_АКЛ — количество пакетиков с апельсиновой, клубничной и лимонной.
Пусть k_АКВ — количество пакетиков с апельсиновой, клубничной и вишнёвой.
Пусть k_АЛВ — количество пакетиков с апельсиновой, лимонной и вишнёвой.
Пусть k_КЛВ — количество пакетиков с клубничной, лимонной и вишнёвой.
У нас есть:

k_АКЛ + k_АКВ + k_АЛВ + k_КЛВ = 8 (всего пакетиков)
k_АКЛ + k_АКВ + k_АЛВ ≤ 7 (всего апельсиновых)
k_АКЛ + k_АКВ + k_КЛВ ≤ 6 (всего клубничных)
k_АКЛ + k_АЛВ + k_КЛВ ≤ 6 (всего лимонных)
k_АКВ + k_АЛВ + k_КЛВ ≤ 5 (всего вишнёвых)

Нам нужно найти k_АКЛ.
Рассмотрим максимальное число пакетиков, в которых есть апельсиновая, клубничная и лимонная конфета.
Это число ограничено количеством клубничных и лимонных конфет, то есть 6.
Пусть мы можем сделать 6 таких пакетиков.

Использовано: 6 апельсиновых, 6 клубничных, 6 лимонных.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нам нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся можно составить только 1 пакетик (Апельсин + Вишня). Но в пакетике должно быть 3 конфеты.

Значит, мы можем сделать максимум 5 таких пакетиков.

5 пакетиков (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 5 апельсиновых, 5 клубничных, 5 лимонных.
Осталось: 2 апельсиновых, 1 клубничная, 1 лимонная, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 3 пакетика.
Рассмотрим оставшиеся конфеты: 2а, 1к, 1л, 5в.
Мы можем составить:

1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1а, 1к, 1л.
Осталось: 1 апельсиновая, 0 клубничных, 0 лимонных, 5 вишнёвых.
Нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся (1а, 5в) мы можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Вишня). Не подходит.

Попробуем сделать 5 пакетиков (Апельсин + Клубника + Вишня).

Использовано: 5а, 5к, 5в.
Осталось: 2а, 1к, 6л, 0в.
Нужно сделать ещё 3 пакетика.
Из оставшихся (2а, 1к, 6л), можем составить:

1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1а, 1к, 1л.
Осталось: 1а, 0к, 5л.
Нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся (1а, 5л) можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Лимон). Не подходит.

Попробуем сделать 5 пакетиков (Апельсин + Лимон + Вишня).

Использовано: 5а, 5л, 5в.
Осталось: 2а, 6к, 1л, 0в.
Нужно сделать ещё 3 пакетика.
Из оставшихся (2а, 6к, 1л), можем составить:

1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1а, 1к, 1л.
Осталось: 1а, 5к, 0л.
Нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся (1а, 5к) можем сделать только 1 пакетик (Апельсин + Клубника). Не подходит.

Попробуем сделать 5 пакетиков (Клубника + Лимон + Вишня).

Использовано: 5к, 5л, 5в.
Осталось: 7а, 1к, 1л, 0в.
Нужно сделать ещё 3 пакетика.
Из оставшихся (7а, 1к, 1л), можем составить:

1 пакетик (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 1а, 1к, 1л.
Осталось: 6а, 0к, 0л.
Нужно сделать ещё 2 пакетика.
Из оставшихся (6а) можем сделать только 1 пакетик (Апельсин). Не подходит.

Вернёмся к вопросу: Сколько получилось пакетиков, в которых есть и апельсинная, и клубничная, и лимонная конфета?
Мы можем сделать максимум 5 таких пакетиков, так как у нас только 5 вишнёвых конфет, и если вишнёвая конфета не входит в этот пакет, то её некуда деть, чтобы составить 8 пакетиков по 3 разных конфеты.
Пусть мы сделали 5 пакетиков (Апельсин + Клубника + Лимон).
Использовано: 5а, 5к, 5л.
Осталось: 2а, 1к, 1л, 5в.
Нужно сделать ещё 3 пакетика.
Состав оставшихся 3 пакетиков:

2 пакетика по (Апельсин + Вишня + ?). Нет третьего вида.
1 пакетик (Апельсин + Вишня).
2 пакетика (Апельсин + Вишня).

Рассмотрим другой вариант.
Всего 24 конфеты, 8 пакетиков, по 3 конфеты в каждом.
Чтобы в каждом пакетике были разные виды конфет, комбинации могут быть:

(Апельсин, Клубника, Лимон)
(Апельсин, Клубника, Вишня)
(Апельсин, Лимон, Вишня)
(Клубника, Лимон, Вишня)

Пусть x1 - кол-во пакетов (А, К, Л)
Пусть x2 - кол-во пакетов (А, К, В)
Пусть x3 - кол-во пакетов (А, Л, В)
Пусть x4 - кол-во пакетов (К, Л, В)
x1 + x2 + x3 + x4 = 8
x1 + x2 + x3 ≤ 7 (А)
x1 + x2 + x4 ≤ 6 (К)
x1 + x3 + x4 ≤ 6 (Л)
x2 + x3 + x4 ≤ 5 (В)
Нам нужно найти x1.
Из последнего неравенства: x2 + x3 + x4 ≤ 5.
Подставим в первое: x1 + (x2 + x3 + x4) = 8 => x1 + 5 ≤ 8 => x1 ≤ 3.
Значит, количество пакетиков с (Апельсин + Клубника + Лимон) не может быть больше 3.
Проверим x1 = 3:

3 пакетика (А, К, Л).
Остается 5 пакетиков.
Использовано: 3а, 3к, 3л.
Осталось: 4а, 3к, 3л, 5в.
Нужно распределить эти конфеты в 5 пакетиков по 3 разные конфеты.
x2 + x3 + x4 = 5
x2 + x3 ≤ 4 (А)
x2 + x4 ≤ 3 (К)
x3 + x4 ≤ 3 (Л)
x2 + x3 + x4 ≤ 5 (В)
Подставляем x2 + x3 + x4 = 5 в последнее неравенство: 5 ≤ 5 (верно).
Из x2 + x4 ≤ 3 и x3 + x4 ≤ 3, можно сделать вывод.
Если x2 = 0, x3 = 0, x4 = 5. Тогда 0+0+5 = 5. Проверим:

x2 + x3 = 0 ≤ 4 (верно)
x2 + x4 = 0 + 5 = 5 ≤ 3 (неверно).

Если x2 = 1, x3 = 1, x4 = 3. Тогда 1+1+3 = 5. Проверим:

x2 + x3 = 1 + 1 = 2 ≤ 4 (верно)
x2 + x4 = 1 + 3 = 4 ≤ 3 (неверно).

Если x2 = 2, x3 = 2, x4 = 1. Тогда 2+2+1 = 5. Проверим:

x2 + x3 = 2 + 2 = 4 ≤ 4 (верно)
x2 + x4 = 2 + 1 = 3 ≤ 3 (верно)
x3 + x4 = 2 + 1 = 3 ≤ 3 (верно)

Итак, x1=3, x2=2, x3=2, x4=1.
Проверим общее количество конфет:

А: x1+x2+x3 = 3+2+2 = 7 (верно)
К: x1+x2+x4 = 3+2+1 = 6 (верно)
Л: x1+x3+x4 = 3+2+1 = 6 (верно)
В: x2+x3+x4 = 2+2+1 = 5 (верно)

Все условия соблюдены.

Значит, количество пакетиков, в которых есть и апельсинная, и клубничная, и лимонная конфета (x1), равно 3.

Ответ: 3