8

Решение:

Необходимо найти значение выражения \( \sqrt{\frac{36x^4}{y^2}} \) при \( x = 6 \) и \( y = 9 \).

1. Подставим значения \( x \) и \( y \) в выражение:

\[ \sqrt{\frac{36 \cdot 6^4}{9^2}} \]

2. Вычислим степени:

\[ 6^4 = (6^2)^2 = 36^2 = 1296 \]

\( 9^2 = 81 \)

3. Подставим вычисленные значения обратно в выражение:

\[ \sqrt{\frac{36 \cdot 1296}{81}} \]

4. Упростим дробь под корнем. Заметим, что \( 36 = 4 \cdot 9 \) и \( 81 = 9 \cdot 9 \):

\[ \frac{36 \cdot 1296}{81} = \frac{(4 \cdot 9) \cdot 1296}{9 \cdot 9} = \frac{4 \cdot 1296}{9} \]

Теперь разделим 1296 на 9. \( 1296 : 9 = 144 \).

\( \frac{4 \cdot 1296}{9} = 4 \cdot 144 = 576 \)

5. Теперь вычислим корень из 576:

\[ \sqrt{576} \]

Так как \( 20^2 = 400 \) и \( 30^2 = 900 \), корень будет между 20 и 30. Окончание 6 может быть у \( 24^2 \) или \( 26^2 \).

Проверим \( 24^2 \): \( 24 \cdot 24 = 576 \).

Таким образом, \( \sqrt{576} = 24 \).

Альтернативный способ упрощения:

\( \sqrt{\frac{36x^4}{y^2}} = \frac{\sqrt{36x^4}}{\sqrt{y^2}} = \frac{6x^2}{|y|} \).

Подставим \( x = 6 \) и \( y = 9 \):

\[ \frac{6 \cdot 6^2}{|9|} = \frac{6 \cdot 36}{9} = \frac{216}{9} = 24 \]

Ответ: 24