Решение. Пусть x — одна часть, тогда MD = ME = , KD = KF = = , и NE = NF = KM = MN = и KN = = . Так как периметр треугольника равен 40 см, составим уравнение. KM + MN + KN = 40; 8x + + = 40 .

Решение:

Вписанная окружность делит стороны треугольника на отрезки. Из свойств касательных, проведённых из одной точки, следует, что отрезки касательных равны.

Пусть \( x \) — одна часть, тогда:

• \( MD = ME = x \)
• \( KD = KF = x \)
• \( NE = NF = x \)

Тогда длины сторон треугольника выражаются как:

• \( KM = KD + DM = x + x = 2x \)
• \( MN = ME + EN = x + x = 2x \)
• \( KN = KF + FN = x + x = 2x \)

Так как периметр треугольника равен 40 см, составим уравнение:

\( KM + MN + KN = 40 \)

\( 2x + 2x + 2x = 40 \)

\( 6x = 40 \)

\( x = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \) см.

Теперь найдём длины сторон:

• \( KM = 2x = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3} \) см.
• \( MN = 2x = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3} \) см.
• \( KN = 2x = 2 \cdot \frac{20}{3} = \frac{40}{3} \) см.

Ответ: KM = MN = KN = 40/3 см.