Решение уравнения: \( \frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{2-2x} = \frac{3x^2 - 38}{x^2-1} \)

Решим данное уравнение.

1. Представим знаменатель \( x^2 - 1 \) как \( (x-1)(x+1) \). Аналогично, знаменатель \( 2-2x \) можно записать как \( -2(x-1) \).

Тогда уравнение принимает вид:

\[ \frac{7}{x+1} - \frac{x+4}{-2(x-1)} = \frac{3x^2 - 38}{(x-1)(x+1)}. \]

2. Приведём все дроби к общему знаменателю \( (x-1)(x+1) \):

\[ \frac{7(x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{x+4}{2(x-1)(x+1)} = \frac{3x^2 - 38}{(x-1)(x+1)}. \]

3. Умножим обе части уравнения на \( (x-1)(x+1) \) (с учётом, что \( x
eq \pm1 \)):

\[ 7(x-1) + \frac{x+4}{2} = 3x^2 - 38. \]

4. Преобразуем левую часть:

\[ 7x - 7 + \frac{x+4}{2} = 3x^2 - 38. \]

5. Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ 2(7x - 7) + (x+4) = 2(3x^2 - 38). \]

\[ 14x - 14 + x + 4 = 6x^2 - 76. \]

\[ 15x - 10 = 6x^2 - 76. \]

6. Переносим все члены в одну сторону уравнения:

\[ 0 = 6x^2 - 15x - 66. \]

7. Разделим на 3 для упрощения:

\[ 0 = 2x^2 - 5x - 22. \]

8. Решим квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-22) = 25 + 176 = 201. \]

\[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{201}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{201}}{4}. \]

Таким образом, корни уравнения:

\[ x_{1} = \frac{5 + \sqrt{201}}{4}, \quad x_{2} = \frac{5 - \sqrt{201}}{4}. \]