3

Решение:

В данном прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \) известно, что \( \angle MAB = 45^{\circ} \) и катет \( AB = 10 \). Поскольку \( \angle MBA = 90^{\circ} \), то \( \angle AMB = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Треугольник является равнобедренным.

1. Так как \( \angle MAB = \angle AMB = 45^{\circ} \), то катеты \( AB \) и \( BM \) равны. \( AB = BM \).
2. Поскольку \( AB = 10 \), то \( BM = 10 \).
3. Найдем гипотенузу \( AM \) по теореме Пифагора: \( AM^2 = AB^2 + BM^2 \) \( AM^2 = 10^2 + 10^2 \) \( AM^2 = 100 + 100 \) \( AM^2 = 200 \) \( AM = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \)

Ответ: \( BM = 10 \), \( AM = 10\sqrt{2} \).