Решение задач на готовых чертежах: № 3 Дано: R = 3. Найти: площадь закрашенной фигуры.

Решение:

На чертеже изображены две пересекающиеся окружности, каждая радиусом \( R = 3 \). Закрашенная фигура представляет собой область, которая является пересечением двух кругов. Эта фигура состоит из двух равных сегментов. Найдем площадь одного такого сегмента.

Рассмотрим одну окружность. Центр окружности находится на другой окружности. Расстояние между центрами окружностей равно радиусу \( R \). Пусть \( O_1 \) и \( O_2 \) — центры окружностей, \( A \) и \( B \) — точки их пересечения.

Треугольник \( AO_1O_2 \) равносторонний, так как \( AO_1 = O_1O_2 = AO_2 = R = 3 \). Аналогично, треугольник \( BO_1O_2 \) равносторонний.

Угол \( AO_1B \) равен сумме двух углов \( AO_1O_2 \) и \( BO_1O_2 \). Так как треугольники равносторонние, каждый из этих углов равен \( 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \) радиан. Следовательно, угол \( AO_1B = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3} \) радиан.

Площадь сектора \( AO_1B \) равна \( S_{сектор} = \frac{1}{2} R^2 \alpha \), где \( \alpha \) — центральный угол в радианах.

\[ S_{сектор} = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{2\pi}{3} = 3\pi \]

Площадь треугольника \( AO_1B \) равна \( S_{\triangle AO_1B} = \frac{1}{2} R^2 \sin(\alpha) \).

\[ S_{\triangle AO_1B} = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \sin(120^{\circ}) = \frac{9}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Площадь сегмента (одной части закрашенной фигуры) равна разности площади сектора и площади треугольника:

\[ S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{\triangle AO_1B} = 3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{4} \]

Закрашенная фигура состоит из двух таких сегментов (симметрично относительно линии \( O_1O_2 \)).

\[ S_{закрашенная} = 2 \cdot S_{сегмент} = 2 \cdot \left( 3\pi - \frac{9\sqrt{3}}{4} \right) = 6\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} \]

Приближённое значение:

\[ 6\pi \approx 6 \cdot 3.14159 = 18.84954 \]

\[ \frac{9\sqrt{3}}{2} \approx \frac{9 \cdot 1.73205}{2} = \frac{15.58845}{2} = 7.794225 \]

\[ S_{закрашенная} \approx 18.84954 - 7.794225 = 11.055315 \]

Ответ: Площадь закрашенной фигуры равна \( 6\pi - \frac{9\sqrt{3}}{2} \).