РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ГОТОВОМУ ЧЕРТЕЖУ 1. Рис. 7.17. Найти: ВС, MN. 2. Дано: DEАС (рис. 7.18). Найти: АВ. ВС. 3. Дано: а б (рис. 7.19). Найти: х. у. 4. Рис. 7.20. Найти: BD. 5. Рис. 7.21. Найти: СО, ВО. 6. Рис. 7.22. Найти: ВС.

Решаю задачи по геометрии по готовым чертежам.

1. 
   

   Рис. 7.17. Найти: BC, MN.

   
   

   Рассмотрим подобные треугольники ABC и AMN. У них угол A общий, и углы при вершинах B и M равны (по условию на рисунке). Следовательно, треугольники подобны по двум углам.

   
   

   Составим отношение сторон:

   
   $$ \frac{AB}{AM} = \frac{AC}{AN} = \frac{BC}{MN} $$
   

   Из рисунка:

   
   $$ AB = 4 + 6 = 10 $$
   $$ AM = 15 $$
   $$ AN = 12 $$
   

   Тогда:

   
   $$ \frac{10}{15} = \frac{AC}{12} = \frac{BC}{MN} $$
   

   Выразим AC:

   
   $$ AC = \frac{10 \cdot 12}{15} = \frac{120}{15} = 8 $$
   

   Найдём BC, зная, что MN = 6:

   
   $$ \frac{10}{15} = \frac{BC}{6} $$
   $$ BC = \frac{10 \cdot 6}{15} = \frac{60}{15} = 4 $$
   

   Ответ: BC = 4, MN = 6

   
   



2. 
   

   Рис. 7.18. Дано: DE || AC. Найти: AB, BC.

   
   

   Рассмотрим подобные треугольники BDE и BAC. У них угол B общий, и углы при вершинах D и A равны (как соответственные углы при параллельных прямых DE и AC). Следовательно, треугольники подобны по двум углам.

   
   

   Составим отношение сторон:

   
   $$ \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{DE}{AC} $$
   

   Из рисунка:

   
   $$ BD = x + 6 $$
   $$ DA = 6 $$
   $$ BE = 8 $$
   $$ EC = 10 $$
   $$ DE = 10 $$
   $$ AC = 15 $$
   

   Тогда:

   
   $$ \frac{BD}{BA} = \frac{x+6}{x+6+x} = \frac{x+6}{x+12} $$
   $$ \frac{BE}{BC} = \frac{8}{8+10} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} $$
   $$ \frac{DE}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} $$
   

   Найдём x из пропорции:

   
   $$ \frac{x+6}{AB} = \frac{2}{3} $$
   $$ AB = BD + DA = x + 6 + x = 2x + 6 $$
   

   Подставим AB:

   
   $$ \frac{x+6}{2x+6} = \frac{2}{3} $$
   $$ 3(x+6) = 2(2x+6) $$
   $$ 3x + 18 = 4x + 12 $$
   $$ x = 6 $$
   

   Найдём AB и BC:

   
   $$ AB = 2x + 6 = 2 \cdot 6 + 6 = 12 + 6 = 18 $$
   $$ BC = BE + EC = 8 + 10 = 18 $$
   

   Ответ: AB = 18, BC = 18

   
   



3. 
   

   Рис. 7.19. Дано: a || b. Найти: x, y.

   
   

   Рассмотрим подобные треугольники, образованные пересекающимися прямыми. По теореме Фалеса, если параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки, то треугольники подобны.

   
   

   Составим пропорцию:

   
   $$ \frac{5}{2x-3} = \frac{x}{y-1} $$
   

   Также, из условия на рисунке:

   
   $$ \frac{5}{x} = \frac{y}{4} $$
   

   Выразим y через x:

   
   $$ y = \frac{5 \cdot 4}{x} = \frac{20}{x} $$
   

   Подставим y в первую пропорцию:

   
   $$ \frac{5}{2x-3} = \frac{x}{\frac{20}{x} - 1} = \frac{x}{\frac{20-x}{x}} = \frac{x^2}{20-x} $$
   $$ 5(20-x) = x^2(2x-3) $$
   $$ 100 - 5x = 2x^3 - 3x^2 $$
   $$ 2x^3 - 3x^2 + 5x - 100 = 0 $$
   

   Тут нужно подобрать корень уравнения, чтобы решить его. Заметим, что если x = 4, то:

   
   $$ 2 \cdot 4^3 - 3 \cdot 4^2 + 5 \cdot 4 - 100 = 2 \cdot 64 - 3 \cdot 16 + 20 - 100 = 128 - 48 + 20 - 100 = 0 $$
   

   Значит, x = 4 - корень уравнения.

   
   

   Теперь можем найти y:

   
   $$ y = \frac{20}{x} = \frac{20}{4} = 5 $$
   

   Ответ: x = 4, y = 5

   
   



4. 
   

   Рис. 7.20. Найти: BD.

   
   

   Треугольник ABC прямоугольный (угол D - прямой).

   
   

   По теореме Пифагора:

   
   $$ AB^2 = AD^2 + BD^2 $$
   $$ BC^2 = BD^2 + DC^2 $$
   

   По условию AD = 4 и AC = 16. Тогда DC = AC - AD = 16 - 4 = 12.

   
   

   Пусть BD = x.

   
   

   Применим теорему о высоте, проведённой из прямого угла: $$BD^2 = AD \cdot DC$$

   
   

   Подставим значения:

   
   $$ x^2 = 4 \cdot 12 = 48 $$
   $$ x = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $$
   

   Ответ: $$BD = 4\sqrt{3}$$

   
   



5. 
   

   Рис. 7.21. Найти: CO, BO.

   
   

   На рисунке изображены два треугольника: AOD и COB. Угол A равен углу C (по условию отмечены дугами). Угол O - вертикальный для обоих треугольников, следовательно, треугольники AOD и COB подобны по двум углам.

   
   

   $$AO = 6, OD = 8, AB = 10, BC = 5$$

   
   

   Тогда: $$ \frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB} = \frac{AD}{BC} $$
   

   Возьмем отношения: $$ \frac{AO}{CO} = \frac{OD}{OB} $$
   

   Пусть $$CO = x, BO = y$$p>
   

   Тогда: $$ \frac{6}{x} = \frac{8}{y}$$
   

   Также рассмотрим отношение: $$\frac{CO}{BC} = \frac{AO}{AB} $$
   

   Тогда получим: $$\frac{x}{5} = \frac{6}{10}$$
   

   Отсюда: $$ x = \frac{6 \cdot 5}{10} = 3 $$
   

   Подставим найденный x в первое отношение: $$\frac{6}{3} = \frac{8}{y} $$
   

   Выразим y: $$ y = \frac{8 \cdot 3}{6} = 4$$p>
   

   Ответ: CO = 3, BO = 4

   
   



6. 
   

   Рис. 7.22. Найти: BC.

   
   

   На рисунке видим прямоугольный треугольник BKD. Угол K - прямой, угол D - прямой. Угол E в прямоугольном треугольнике BDE - прямой.

   
   

   $$ DK = 6, DE = 9$$p>
   

   Так как в треугольнике BDE - угол E прямой, значит, этот треугольник прямоугольный. $$DB = \sqrt{DE^2 + BE^2}$$p>
   

   Треугольники BKD и BDE подобны, так как угол B - общий.
   Найдем гипотенузу DB: $$BD = \sqrt{9^2+9^2} = 9\sqrt{2}$$
   
   Так как треугольники подобны, то $$\frac{DK}{DE} = \frac{BK}{BE} = \frac{DB}{BC}$$
   $$\frac{DK}{DE} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$
   
   Запишем теорему Пифагора для большого треугольника $$
   BD^2 + BC^2 = BC^2$$
   
   Выразим ВС из отношения сторон подобных треугольников: $$\frac{DB}{BC} = \frac{2}{3} => BC = \frac{3*DB}{2}$$
   $$BC = \frac{3*9\sqrt{2}}{2} = \frac{27\sqrt{2}}{2}$$p>
   

   Ответ: $$BC = \frac{27\sqrt{2}}{2}$$