Решение задач по тема: «Напряжённость электрического поля» 1. Найти напряжённость электрического поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами q1-8 нКл и q2= -6 нКл. Расстояние между зарядами г=10 см. Среда — воздух. 2. B вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряжённость электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении зарядов. Каждый заряд q=1,5 нКл; сторона шестиугольника а=3 см. 3. Сфера радиусом 1 см равномерно заряжена. Поверхностная плотность зарядов на сфере 6-10 Кл/см². Найти напряжённость электрического поля на расстоянии 10 см от центра сферы. Среда - воздух. Построить график зависимости Е от расстояния г в пределах от 0 до 10 см. 4. На расстоянии г-3 см от поверхности шара радиусом R=2 см находится точечный заряд q= -2 нКл. Шар заряжен положительно с поверхностной плотностью зарядов σ=2 нКл/м². Найти напряжённость поля, созданного заряженным шаром и точечным зарядом, в точке, расположенной на расстоянии г₁=4 см от центра шара, и г₂-3 см от заряда q. Среда — воздух. 5. В вершинах равностороннего треугольника со стороной а находятся заряды q, q и q. Найти напряжённость поля, созданного этими зарядами в центре треугольника. Среда - воздух. 6. В вершинах ромба расположены точечные заряды q1=64 нКл, q2-8 нКл, q3-352 нКл, q4=40 нКл. Определить напряжённость поля, созданного этими зарядами в центре ромба, если его длинная диагональ 96 см, а короткая 32 см. Среда - воздух. q1 92 94 7. Две концентрические металлические сферы радиусами R1-6 см и R2=10 см несут заряды q1=1 нКл и q2= -0,5 нКл. Найти напряжённость электрического поля, образованного этими сферами в точке 1, 2, 3, отстоящих от центра сфер на расстояниях г₁=5 см, г2-9 см, г3-15 см. Среда — воздух. 3 12

Решение задачи по теме: «Напряжённость электрического поля»

1. Найти напряжённость электрического поля в точке, лежащей посередине между точечными зарядами q₁=8 нКл и q₂= -6 нКл. Расстояние между зарядами r=10 см. Среда — воздух.

Давай разберем эту задачу. Сначала найдем напряженность поля, созданного каждым зарядом в отдельности, а затем сложим векторы напряженности.

Напряженность электрического поля точечного заряда определяется формулой: \[ E = k \frac{|q|}{r^2} \], где k = 9 × 10⁹ Н·м²/Кл².

Поскольку точка находится посередине между зарядами, расстояние от каждого заряда до этой точки равно r/2 = 5 см = 0.05 м.

Напряженность, создаваемая зарядом q₁: \[ E_1 = k \frac{|q_1|}{(r/2)^2} = 9 \times 10^9 \frac{8 \times 10^{-9}}{(0.05)^2} = 28800 \text{ В/м} \]

Напряженность, создаваемая зарядом q₂: \[ E_2 = k \frac{|q_2|}{(r/2)^2} = 9 \times 10^9 \frac{6 \times 10^{-9}}{(0.05)^2} = 21600 \text{ В/м} \]

Поскольку заряды имеют разные знаки, векторы напряженности E₁ и E₂ направлены в одну сторону. Поэтому суммарная напряженность равна сумме модулей напряженностей:

\[ E = E_1 + E_2 = 28800 + 21600 = 50400 \text{ В/м} \]

Ответ: 50400 В/м

2. В вершинах правильного шестиугольника расположены три положительных и три отрицательных заряда. Найти напряжённость электрического поля в центре шестиугольника при различных комбинациях в расположении зарядов. Каждый заряд q=1,5 нКл; сторона шестиугольника а=3 см.

Давай рассмотрим разные комбинации расположения зарядов в вершинах шестиугольника.

Сначала вспомним, что напряженность электрического поля в центре шестиугольника, созданная одним зарядом q на расстоянии a, равна: \[ E = k \frac{|q|}{a^2} \], где k = 9 × 10⁹ Н·м²/Кл².

Для q = 1,5 нКл и a = 3 см = 0.03 м: \[ E = 9 \times 10^9 \frac{1.5 \times 10^{-9}}{(0.03)^2} = 15000 \text{ В/м} \]

Теперь рассмотрим несколько комбинаций расположения зарядов:

• Чередующиеся заряды (+, -, +, -, +, -): В этом случае положительные и отрицательные заряды создают поля, направленные в противоположные стороны, и суммарная напряженность равна нулю.
• Три положительных заряда подряд, затем три отрицательных: В этом случае векторы напряженности от положительных и отрицательных зарядов будут направлены в разные стороны, и суммарная напряженность будет равна нулю, так как они компенсируют друг друга.
• Три положительных заряда в одной половине шестиугольника, три отрицательных — в другой: В этом случае векторы напряженности от положительных и отрицательных зарядов будут направлены в разные стороны, и суммарная напряженность будет равна нулю, так как они компенсируют друг друга.

В любой симметричной комбинации, когда есть равное количество положительных и отрицательных зарядов, напряжённость в центре шестиугольника будет равна нулю. Если же распределение зарядов несимметрично, напряжённость будет ненулевой.

Ответ: 0 В/м (для симметричных комбинаций)

3. Сфера радиусом 1 см равномерно заряжена. Поверхностная плотность зарядов на сфере σ=10 Кл/см². Найти напряжённость электрического поля на расстоянии 10 см от центра сферы. Среда - воздух. Построить график зависимости Е от расстояния r в пределах от 0 до 10 см.

Сначала найдем заряд сферы. Площадь поверхности сферы радиусом R равна \[ S = 4 \pi R^2 \]. Учитывая, что R = 1 см = 0.01 м, площадь равна \[ S = 4 \pi (0.01)^2 = 4 \pi \times 10^{-4} \text{ м}^2 \].

Заряд сферы равен \[ q = \sigma S = 10 \times 10^4 \times 4 \pi \times 10^{-4} = 4 \pi \text{ Кл} \].

Напряженность электрического поля на расстоянии r = 10 см = 0.1 м от центра сферы равна \[ E = k \frac{|q|}{r^2} = 9 \times 10^9 \frac{4 \pi}{(0.1)^2} = 36 \pi \times 10^{11} \text{ В/м} \].

Для построения графика зависимости E от расстояния r:

• Внутри сферы (r < R) напряженность E = 0.
• На поверхности сферы (r = R) напряженность максимальна.
• Вне сферы (r > R) напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния.

Ответ: 36π × 10¹¹ В/м

4. На расстоянии r=3 см от поверхности шара радиусом R=2 см находится точечный заряд q= -2 нКл. Шар заряжен положительно с поверхностной плотностью зарядов σ=2 нКл/м². Найти напряжённость поля, созданного заряженным шаром и точечным зарядом, в точке, расположенной на расстоянии r₁=4 см от центра шара, и r₂=3 см от заряда q. Среда — воздух.

Рассмотрим ситуацию. Расстояние от центра шара до точечного заряда: \[ r = R + 3 \text{ см} = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м} \].

Расстояние от центра шара до точки наблюдения: \[ r_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м} \]. Расстояние от заряда q до точки наблюдения: \[ r_2 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м} \].

Заряд шара можно найти, умножив поверхностную плотность на площадь поверхности шара: \[ q_{\text{шара}} = \sigma \cdot 4 \pi R^2 = 2 \times 10^{-9} \cdot 4 \pi (0.02)^2 = 3.2 \pi \times 10^{-12} \text{ Кл} \].

Напряженность электрического поля, созданного шаром в точке наблюдения: \[ E_{\text{шара}} = k \frac{|q_{\text{шара}}|}{r_1^2} = 9 \times 10^9 \frac{3.2 \pi \times 10^{-12}}{(0.04)^2} = 18 \pi \text{ В/м} \].

Напряженность электрического поля, созданного точечным зарядом q в точке наблюдения: \[ E_q = k \frac{|q|}{r_2^2} = 9 \times 10^9 \frac{2 \times 10^{-9}}{(0.03)^2} = 20000 \text{ В/м} \].

Полная напряженность: \[ E = |E_q - E_{\text{шара}}| = |20000 - 18 \pi| \approx 19943.45 \text{ В/м} \].

Ответ: ≈ 19943.45 В/м

5. В вершинах равностороннего треугольника со стороной a находятся заряды q, q и q. Найти напряжённость поля, созданного этими зарядами в центре треугольника. Среда - воздух.

Давай разберем эту задачу. В центре равностороннего треугольника находятся три одинаковых положительных заряда. Поля, создаваемые этими зарядами, будут направлены от зарядов к центру, и они будут компенсировать друг друга из-за симметрии.

Расстояние от вершины равностороннего треугольника до его центра равно \( r = \frac{a}{\sqrt{3}} \), где a — длина стороны треугольника.

Напряженность электрического поля, созданного одним зарядом q в центре треугольника, равна \( E = k \frac{q}{r^2} = k \frac{q}{(\frac{a}{\sqrt{3}})^2} = k \frac{3q}{a^2} \).

Поскольку заряды находятся в вершинах равностороннего треугольника, векторы напряженности от каждого заряда направлены под углом 120° друг к другу. Сумма этих векторов равна нулю, так как они взаимно компенсируются.

Ответ: 0 В/м

6. В вершинах ромба расположены точечные заряды q₁=64 нКл, q₂=8 нКл, q₃=352 нКл, q₄=40 нКл. Определить напряжённость поля, созданного этими зарядами в центре ромба, если его длинная диагональ 96 см, а короткая 32 см. Среда - воздух.

Определим напряженность поля в центре ромба. Ромб можно разделить на четыре прямоугольных треугольника. Центр ромба находится на пересечении диагоналей. Пусть d₁ - половина длинной диагонали, d₂ - половина короткой диагонали.

d₁ = 96 см / 2 = 48 см = 0.48 м, d₂ = 32 см / 2 = 16 см = 0.16 м.

Расстояние от центра ромба до каждой вершины равно гипотенузе прямоугольного треугольника со сторонами d₁ и d₂.

Напряженности полей, созданные зарядами q₁ и q₃ (расположенными на концах длинной диагонали), направлены вдоль длинной диагонали, а напряженности полей, созданные зарядами q₂ и q₄ (расположенными на концах короткой диагонали), направлены вдоль короткой диагонали.

Напряженности полей, созданные зарядами q₁ и q₃, направлены в противоположные стороны, а также напряженности полей, созданные зарядами q₂ и q₄, направлены в противоположные стороны.

Модуль напряженности поля, созданного зарядом q₁ в центре ромба: \[ E_1 = k \frac{|q_1|}{d_1^2 + d_2^2} = 9 \times 10^9 \frac{64 \times 10^{-9}}{(0.48)^2 + (0.16)^2} \]

Модуль напряженности поля, созданного зарядом q₃ в центре ромба: \[ E_3 = k \frac{|q_3|}{d_1^2 + d_2^2} = 9 \times 10^9 \frac{352 \times 10^{-9}}{(0.48)^2 + (0.16)^2} \]

Модуль напряженности поля, созданного зарядом q₂ в центре ромба: \[ E_2 = k \frac{|q_2|}{d_1^2 + d_2^2} = 9 \times 10^9 \frac{8 \times 10^{-9}}{(0.48)^2 + (0.16)^2} \]

Модуль напряженности поля, созданного зарядом q₄ в центре ромба: \[ E_4 = k \frac{|q_4|}{d_1^2 + d_2^2} = 9 \times 10^9 \frac{40 \times 10^{-9}}{(0.48)^2 + (0.16)^2} \]

Суммарная напряженность вдоль длинной диагонали: \[ E_{d1} = E_3 - E_1 = k \frac{352 - 64}{(0.48)^2 + (0.16)^2} \times 10^{-9} = 9 \times 10^9 \frac{288 \times 10^{-9}}{0.2304 + 0.0256} = 9 \times 10^9 \frac{288 \times 10^{-9}}{0.256} = 10125 \text{ В/м} \]

Суммарная напряженность вдоль короткой диагонали: \[ E_{d2} = E_4 - E_2 = k \frac{40 - 8}{(0.48)^2 + (0.16)^2} \times 10^{-9} = 9 \times 10^9 \frac{32 \times 10^{-9}}{0.256} = 1125 \text{ В/м} \]

Полная напряженность в центре ромба: \[ E = \sqrt{E_{d1}^2 + E_{d2}^2} = \sqrt{(10125)^2 + (1125)^2} = \sqrt{102515625 + 1265625} = \sqrt{103781250} \approx 10187.31 \text{ В/м} \]

Ответ: ≈ 10187.31 В/м

7. Две концентрические металлические сферы радиусами R₁=6 см и R₂=10 см несут заряды q₁=1 нКл и q₂= -0,5 нКл. Найти напряжённость электрического поля, образованного этими сферами в точке 1, 2, 3, отстоящих от центра сфер на расстояниях r₁=5 см, r₂=9 см, r₃=15 см. Среда — воздух.

Разберем эту задачу по порядку. Напряженность электрического поля сферически симметричного распределения заряда определяется как: \[ E = k \frac{Q}{r^2} \], где Q — суммарный заряд внутри сферы радиуса r.

• Точка 1: r₁ = 5 см = 0.05 м (находится внутри первой сферы, поэтому Q = 0). Следовательно, E₁ = 0.
• Точка 2: r₂ = 9 см = 0.09 м (находится между первой и второй сферами, поэтому Q = q₁). Следовательно, \[ E_2 = k \frac{q_1}{r_2^2} = 9 \times 10^9 \frac{1 \times 10^{-9}}{(0.09)^2} = \frac{9}{0.0081} = 1111.11 \text{ В/м} \].
• Точка 3: r₃ = 15 см = 0.15 м (находится вне обеих сфер, поэтому Q = q₁ + q₂). Следовательно, Q = 1 нКл + (-0.5 нКл) = 0.5 нКл = 0.5 × 10⁻⁹ Кл. \[ E_3 = k \frac{q_1 + q_2}{r_3^2} = 9 \times 10^9 \frac{0.5 \times 10^{-9}}{(0.15)^2} = \frac{4.5}{0.0225} = 200 \text{ В/м} \].

Ответ: E₁ = 0 В/м, E₂ ≈ 1111.11 В/м, E₃ = 200 В/м