Решение задач по теме: «Действия над векторами» 1. Определить вид треугольника АВС, если А(-5;2;0), B(-4;3;0), C(-5;2;-2). 2. Найдите координаты вектора АВ, если А(3;-1;2), B(2,-1,4). 3. Даны векторы, а {-1; 1; 1}, {0; 2; -2}, {−3; 2; 0}, {−2; 1; −2}. Найти координаты векторов: За + 2b - č. 4. Определить коллинеарны ли вектора: а) 2 {3; 6; 8}, b {6; 12; 16}; 6) ĉ {1; -1; 3}, d {2; 3; 15}. 5. Даны точки: А(2;3;-1) и С(1;1;1) – середина отрезка АВ. Найти координаты точки В. 6. Дано: А(0;2;-3), B(-1;1;1), С(2;-2;-1), Д(3;-1;-5). Доказать, что АВСД параллелограмм.

1. Определить вид треугольника АВС

Чтобы определить вид треугольника, найдем длины его сторон, используя координаты вершин:

\[AB = \sqrt{((-4) - (-5))^2 + (3 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\]

\[BC = \sqrt{((-5) - (-4))^2 + (2 - 3)^2 + ((-2) - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\]

\[AC = \sqrt{((-5) - (-5))^2 + (2 - 2)^2 + ((-2) - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2\]

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для данного треугольника: \[AB^2 + BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 = 2 + 6 = 8\] \[AC^2 = 2^2 = 4\] Так как \(AB^2 + BC^2
eq AC^2\), треугольник не является прямоугольным.

Проверим, является ли треугольник равнобедренным: Так как все стороны имеют разную длину, треугольник не является равнобедренным.

Таким образом, треугольник ABC – разносторонний.

2. Найти координаты вектора АВ

Даны точки A(3; -1; 2) и B(2; -1; 4).

Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находим, вычитая координаты точки А из координат точки В:

\[\overrightarrow{AB} = (2 - 3; -1 - (-1); 4 - 2) = (-1; 0; 2)\]

3. Даны векторы, найти координаты вектора: 3a + 2b - c

Даны векторы: \(\vec{a} = \{-1; 1; 1\}, \vec{b} = \{0; 2; -2\}, \vec{c} = \{-3; 2; 0\}\)

Тогда:

\[3\vec{a} = \{-3; 3; 3\}\]

\[2\vec{b} = \{0; 4; -4\}\]

\[3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = \{-3 - 0 - (-3); 3 + 4 - 2; 3 - 4 - 0\} = \{0; 5; -1\}\]

4. Определить коллинеарны ли вектора

а) \(\vec{a} = \{3; 6; 8\}, \vec{b} = \{6; 12; 16\}\)

Проверим, существует ли такое число k, что \(\vec{b} = k\vec{a}\). Для этого проверим равенство отношений координат:

\[\frac{6}{3} = 2, \frac{12}{6} = 2, \frac{16}{8} = 2\]

Так как все отношения равны, векторы коллинеарны.

б) \(\vec{c} = \{1; -1; 3\}, \vec{d} = \{2; 3; 15\}\)

Проверим, существует ли такое число k, что \(\vec{d} = k\vec{c}\). Для этого проверим равенство отношений координат:

\[\frac{2}{1} = 2, \frac{3}{-1} = -3, \frac{15}{3} = 5\]

Так как отношения не равны, векторы не коллинеарны.

5. Даны точки, найти координаты точки В

Даны точки: A(2; 3; -1) и C(1; 1; 1) - середина отрезка AB.

Пусть B(x; y; z). Тогда координаты середины отрезка AC находятся по формуле:

\[C = (\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2})\]

Подставляем известные значения:

\[(1; 1; 1) = (\frac{2 + x}{2}; \frac{3 + y}{2}; \frac{-1 + z}{2})\]

Решаем систему уравнений:

\[1 = \frac{2 + x}{2} \Rightarrow 2 = 2 + x \Rightarrow x = 0\]

\[1 = \frac{3 + y}{2} \Rightarrow 2 = 3 + y \Rightarrow y = -1\]

\[1 = \frac{-1 + z}{2} \Rightarrow 2 = -1 + z \Rightarrow z = 3\]

Таким образом, координаты точки B(0; -1; 3).

6. Дано: А(0;2;-3), B(-1;1;1), С(2;-2;-1), Д(3;-1;-5). Доказать, что АВСД - параллелограмм.

Чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. Найдем векторы сторон:

\[\overrightarrow{AB} = (-1 - 0; 1 - 2; 1 - (-3)) = (-1; -1; 4)\]

\[\overrightarrow{DC} = (2 - 3; -2 - (-1); -1 - (-5)) = (-1; -1; 4)\]

\[\overrightarrow{BC} = (2 - (-1); -2 - 1; -1 - 1) = (3; -3; -2)\]

\[\overrightarrow{AD} = (3 - 0; -1 - 2; -5 - (-3)) = (3; -3; -2)\]

Так как \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\), то AB || DC и BC || AD, а также AB = DC и BC = AD.

Следовательно, ABCD - параллелограмм.

1. Определить вид треугольника АВС

Чтобы определить вид треугольника, найдем длины его сторон, используя координаты вершин:

\[AB = \sqrt{((-4) - (-5))^2 + (3 - 2)^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}\]

\[BC = \sqrt{((-5) - (-4))^2 + (2 - 3)^2 + ((-2) - 0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}\]

\[AC = \sqrt{((-5) - (-5))^2 + (2 - 2)^2 + ((-2) - 0)^2} = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{4} = 2\]

Проверим, выполняется ли теорема Пифагора для данного треугольника: \[AB^2 + BC^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2 = 2 + 6 = 8\] \[AC^2 = 2^2 = 4\] Так как \(AB^2 + BC^2
eq AC^2\), треугольник не является прямоугольным.

Проверим, является ли треугольник равнобедренным: Так как все стороны имеют разную длину, треугольник не является равнобедренным.

Таким образом, треугольник ABC – разносторонний.

2. Найти координаты вектора АВ

Даны точки A(3; -1; 2) и B(2; -1; 4).

Координаты вектора \(\overrightarrow{AB}\) находим, вычитая координаты точки А из координат точки В:

\[\overrightarrow{AB} = (2 - 3; -1 - (-1); 4 - 2) = (-1; 0; 2)\]

3. Даны векторы, найти координаты вектора: 3a + 2b - c

Даны векторы: \(\vec{a} = \{-1; 1; 1\}, \vec{b} = \{0; 2; -2\}, \vec{c} = \{-3; 2; 0\}\)

Тогда:

\[3\vec{a} = \{-3; 3; 3\}\]

\[2\vec{b} = \{0; 4; -4\}\]

\[3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = \{-3 - 0 - (-3); 3 + 4 - 2; 3 - 4 - 0\} = \{0; 5; -1\}\]

4. Определить коллинеарны ли вектора

а) \(\vec{a} = \{3; 6; 8\}, \vec{b} = \{6; 12; 16\}\)

Проверим, существует ли такое число k, что \(\vec{b} = k\vec{a}\). Для этого проверим равенство отношений координат:

\[\frac{6}{3} = 2, \frac{12}{6} = 2, \frac{16}{8} = 2\]

Так как все отношения равны, векторы коллинеарны.

б) \(\vec{c} = \{1; -1; 3\}, \vec{d} = \{2; 3; 15\}\)

Проверим, существует ли такое число k, что \(\vec{d} = k\vec{c}\). Для этого проверим равенство отношений координат:

\[\frac{2}{1} = 2, \frac{3}{-1} = -3, \frac{15}{3} = 5\]

Так как отношения не равны, векторы не коллинеарны.

5. Даны точки, найти координаты точки В

Даны точки: A(2; 3; -1) и C(1; 1; 1) - середина отрезка AB.

Пусть B(x; y; z). Тогда координаты середины отрезка AC находятся по формуле:

\[C = (\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2})\]

Подставляем известные значения:

\[(1; 1; 1) = (\frac{2 + x}{2}; \frac{3 + y}{2}; \frac{-1 + z}{2})\]

Решаем систему уравнений:

\[1 = \frac{2 + x}{2} \Rightarrow 2 = 2 + x \Rightarrow x = 0\]

\[1 = \frac{3 + y}{2} \Rightarrow 2 = 3 + y \Rightarrow y = -1\]

\[1 = \frac{-1 + z}{2} \Rightarrow 2 = -1 + z \Rightarrow z = 3\]

Таким образом, координаты точки B(0; -1; 3).

6. Дано: А(0;2;-3), B(-1;1;1), С(2;-2;-1), Д(3;-1;-5). Доказать, что АВСД - параллелограмм.

Чтобы доказать, что ABCD - параллелограмм, нужно показать, что противоположные стороны параллельны и равны по длине. Найдем векторы сторон:

\[\overrightarrow{AB} = (-1 - 0; 1 - 2; 1 - (-3)) = (-1; -1; 4)\]

\[\overrightarrow{DC} = (2 - 3; -2 - (-1); -1 - (-5)) = (-1; -1; 4)\]

\[\overrightarrow{BC} = (2 - (-1); -2 - 1; -1 - 1) = (3; -3; -2)\]

\[\overrightarrow{AD} = (3 - 0; -1 - 2; -5 - (-3)) = (3; -3; -2)\]

Так как \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}\) и \(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}\), то AB || DC и BC || AD, а также AB = DC и BC = AD.

Следовательно, ABCD - параллелограмм.