Решение задачи Коши x' + x = 0, x(0) = 1 равно

Решение задачи Коши:

Дано дифференциальное уравнение \( x' + x = 0 \) с начальным условием \( x(0) = 1 \).

1. Решим однородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его характеристическое уравнение: \( r + 1 = 0 \), откуда \( r = -1 \).
2. Общее решение однородного уравнения имеет вид: \( x(t) = C e^{-t} \), где \( C \) — произвольная постоянная.
3. Применим начальное условие \( x(0) = 1 \) для нахождения \( C \): \( 1 = C e^{-0} \), что даёт \( 1 = C \cdot 1 \), следовательно, \( C = 1 \).
4. Подставляем найденное значение \( C \) в общее решение: \( x(t) = 1 \cdot e^{-t} = e^{-t} \).

Ответ: \( e^{-t} \).