Решение задачи на поиск ГМТ должно содержать доказательство того, что все точки фигуры, указанной в ответе, обладают требуемым свойством, а также наоборот, что все точки, обладающие требуемым свойством, принадлежат этой фигуре. Домашнее задание. 1) Как выглядит геометрическое место точек, удаленных на расстояние 6 см от точки О? 2) Как выглядит ГМТ, расстояние от которых до заданной точки не больше 6 см? 3) Доказать, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.

1) Как выглядит геометрическое место точек, удаленных на расстояние 6 см от точки О?

Геометрическое место точек, удаленных на расстояние 6 см от точки O, это окружность с центром в точке O и радиусом 6 см.

2) Как выглядит ГМТ, расстояние от которых до заданной точки не больше 6 см?

Геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше 6 см, это круг с центром в этой точке и радиусом 6 см.

3) Доказать, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.

Для доказательства рассмотрим угол ABC и его биссектрису BD.

• Прямое утверждение: Любая точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.

Пусть P - произвольная точка на BD. Опустим перпендикуляры PE и PF на стороны AB и BC соответственно. Так как BD - биссектриса, углы PBE и PBF равны. Треугольники PBE и PBF прямоугольные, имеют общую гипотенузу BP и равные углы при вершине B. Следовательно, треугольники PBE и PBF равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует, что PE = PF, то есть точка P равноудалена от сторон угла.

• Обратное утверждение: Любая точка, равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе.

Пусть Q - точка внутри угла ABC, равноудаленная от сторон AB и BC. Опустим перпендикуляры QE и QF на стороны AB и BC соответственно, такие что QE = QF. Рассмотрим прямоугольные треугольники QBE и QBF. У них общая гипотенуза BQ и равные катеты QE и QF. Следовательно, треугольники QBE и QBF равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует, что углы QBE и QBF равны, то есть BQ - биссектриса угла ABC. Значит, точка Q лежит на биссектрисе угла ABC.

Таким образом, доказано, что биссектриса угла является геометрическим местом точек, равноудаленных от его сторон.

Ответ: Геометрическое место точек, удаленных на расстояние 6 см от точки O, это окружность с центром в точке O и радиусом 6 см; геометрическое место точек, расстояние от которых до заданной точки не больше 6 см, это круг с центром в этой точке и радиусом 6 см; доказано, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудаленных от его сторон.