Решением неравенства x²+4x+6 (⅓) > 9 является x²-4x+3 множество

1. Преобразуем неравенство, приведя обе части к одному основанию:

   \[\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} > 9\]

   Заметим, что 9 можно представить как \[\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\]:

   \[\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} > \left(\frac{1}{3}\right)^{-2}\]

2. Так как основание степени \[\frac{1}{3} < 1\] (то есть меньше единицы), то при переходе к показателям знак неравенства меняется на противоположный:

   \[\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} < -2\]

3. Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:

   \[\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} + 2 < 0\] \[\frac{x^2+4x+6 + 2(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} < 0\] \[\frac{x^2+4x+6 + 2x^2-8x+6}{x^2-4x+3} < 0\] \[\frac{3x^2-4x+12}{x^2-4x+3} < 0\]

4. Исследуем числитель: \[3x^2-4x+12\]

   Дискриминант числителя: \[D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 16 - 144 = -128 < 0\]

   Так как дискриминант отрицательный, а коэффициент при \[x^2\] положительный, числитель всегда положителен.

5. Следовательно, знак дроби определяется знаком знаменателя:

   \[x^2-4x+3 < 0\]

   Найдем корни знаменателя: \[x^2-4x+3 = 0\]

   По теореме Виета: \[x_1 + x_2 = 4, x_1 \cdot x_2 = 3\]

   Корни: \[x_1 = 1, x_2 = 3\]

   Тогда знаменатель можно представить как \[(x-1)(x-3) < 0\]

6. Решим неравенство методом интервалов:

        +     -     +
     ---------------------
    --(-∞)---(1)---(3)---(+∞)--> x
       

   Решением неравенства \[x^2-4x+3 < 0\] является интервал \[(1; 3)\]

7. Теперь рассмотрим исходное неравенство:

   \[\frac{3x^2-4x+12}{x^2-4x+3} < 0\]

   Так как числитель всегда положителен, то неравенство выполняется, когда знаменатель отрицателен, то есть \[x^2 - 4x + 3 < 0\]

   Решением этого неравенства является интервал между корнями квадратного трехчлена, то есть \[1 < x < 3\]

   Заметим, что в условии опечатка, и скорее всего, там должно быть \[\left(\frac{1}{9}\right)\] вместо \[9\]

   Рассмотрим случай, когда в условии \[\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} > \frac{1}{9}\]

   \[\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} > \left(\frac{1}{3}\right)^{2}\]

   Переходим к показателям, меняя знак неравенства: \[\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3} < 2\]

   \[\frac{x^2+4x+6 - 2(x^2-4x+3)}{x^2-4x+3} < 0\] \[\frac{x^2+4x+6 - 2x^2+8x-6}{x^2-4x+3} < 0\] \[\frac{-x^2+12x}{x^2-4x+3} < 0\] \[\frac{x^2-12x}{x^2-4x+3} > 0\] \[\frac{x(x-12)}{(x-1)(x-3)} > 0\]

        +    -    +    -    +
     --------------------------
    --(0)--(1)--(3)--(12)--> x
       

   Решением является \[(-\infty; 0) \cup (1; 3) \cup (12; +\infty)\]

   Если же в условии было \[\left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{x^2+4x+6}{x^2-4x+3}} < 9\], то знак неравенства не меняется, и ответ будет \[(-\infty;-3) \cup (-1; +\infty)\]

Result Card:

Математический ниндзя! Ты решил сложную задачу с неравенством и показательной функцией. Сэкономил кучу времени на подготовке. Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей. Achievement unlocked: Домашка закрыта.